Salut a tous,

je dois prouver que x² - (V2)x - 4/7 = 0 n´admet pas de solution dont le nombre soit rationnel

Voila comment j´ai procédé :

J´ai prouvé que V2 est irrationnel (je vous passe la demonstration, elle importe peu) ensuite, j´ai supposé que x £ Q (x rationnel quoi)

Raisonnement par l´absurde

x² - (V2)x + 4/7 est supposé etre rationnel
donc x² - (V2)x - 4/7 = a/b avec a £ Z et b £ Z*

x² - (V2)x - 4/7 = a/b
a = bx² - bx(V2) - 4b/7
bx² est rationnel, bx(V2) est irrationnel, et - 4b/7 est rationnel

Donc la soustration de ces trois termes est irationnel

Contradiction car a ne l´est pas :

Conclusion x² - (V2)x + 4/7 = 0 n´admet pas de solution rationnel

Je suis sur que c´est probablement faux, et si j´ai une erreur / oubli, j´aimerais bien que vous me la signaliez

Merci d´avance

Svp

Dsl d´etre aussi impatient mais c´est assez urgent

tu te compliques avec une démonstration par l´absurde a ralonge en prenant a et b quelconque (alors que a=0 et par exemple b=1) mais ca reste une démontration valable (il faut aussi vérifier que x=0 n´est pas solution)

Oke merci beaucoup

En fait quand je disais "je dois prouver que ...", c´etait en fait un exo que j´avais en controle cet aprem...

Peut-etre si c´est une démonstration à rallonge, ce qui m´importe c´est qu´elle soit valable

Sinon j´avais un autre exo, j´aimerais verifier l´exactitude des resultats :

"Mr X a 9000 euros sur son compte. Il place une partie au taux de 8 % d´interet par an et le reste à 6 % . Au bout d´un an, il recoit 670 euros d´interet.

Quelle etait la partie qui avait été placée à 8% ?

Voila ce que j´ai mis :

x + y = 9000 euros

(8x / 100) + (6y / 100) = 670
(8x + 6y) / 100 = 670
(8x + 6(9000 - x)) / 100 = 670
(8x + 54000 - 6x) / 100 = 670
67000 = 8x + 54000 - 6x
13000 = 2x
x = 6500

Deux questions :

Le calcul est-il bon ?
Est-ce important si je n´ai pas utilisé la méthode du systeme par substitution avec les accolades, mais uniquement une simple équation ?

Merci d´avance

• 3ème ligne c´est "peu importe" pas "peut-etre"

Quel lapsus ^^

ca a l´air bon (je vois pas trop de quelle méthode "par substitution" tu parles)

"bx² est rationnel, bx(V2) est irrationnel, et - 4b/7 est rationnel

Donc la soustration de ces trois termes est irationnel "

Spa une démo ça. Et la démo est longue et inutile..

Soit tu calculais les racines directement en factorisant un peu, soit tu posais directement s=a/b avec (a;b)€IN et tu montrais que blabla

prouver que x² - (V2)x - 4/7 = 0 n´admet pas de solution dont le nombre soit rationnel

x² - V2x - 4/7 = 0 <=> x² - V2x = 4/7

4/7 étant rationnel, on doit forcément avoir x² - V2x rationnel aussi.

Soient n un nombre rationnel tel que

x² - V2x = n <=> x(x - V2) = n.

Il est trivial que les opérations élémentaires entre des nombres rationnels et irrationnels fournissent un résultat irrationnel (au pire, tu peux le démontrer, ce sera plus rigoureux). Supposons x rationnel, on aurait alors x(x - V2) irrationnel, or n est rationnel, contradiction, donc x est irrationnel, ce qui conclus.

merde, j´ai fait n´importe quoi là >___< pas besoin d´introduire une varibla, donc je refais :

prouver que x² - (V2)x - 4/7 = 0 n´admet pas de solution dont le nombre soit rationnel

x² - V2x - 4/7 = 0 <=> x² - V2x = 4/7

4/7 étant rationnel, on doit forcément avoir x² - V2x rationnel aussi.

Il est trivial que les opérations élémentaires entre des nombres rationnels et irrationnels fournissent un résultat irrationnel (au pire, tu peux le démontrer, c´est simple à faire, ce sera plus rigoureux). Supposons x rationnel, on aurait alors x(x - V2) irrationnel, or 4/7 est rationnel, contradiction, donc x est irrationnel, ce qui conclus.

Ah, j´ai une autre "démo"

x² - V2x - 4/7 = 0 <=> -(x² - 4/7)/x = V2

Or V2 étant irrationnel, il n´existe donc aucun a et b entier (et donc rationnel) tel que V2 = a/b. Il s´ensuit alors pour que V2 = a/b, il faut qu´- au moins - l´une des 2 conditions suivantes soient remplies :

- a irrationnel <=> b rationnel (ex : 2V2/2)

- a et b irrationnels (ex V2*V3/V3 = V2)

De -(x² - 4/7)/x, supposons alors b = x rationnel. Il en résulte alors -x² - 4/7 est rationnel aussi, contradiction. Donc x est irrationnel.

x² - V2x - 4/7 = 0 <=> -(x² - 4/7)/x = V2

plutôt

(x² - 4/7)/x = V2

C´est bordélu vos démos. Suffit de supposer que x = p/q premiers entre eux , x solution de l´équation; d´isoler rac(2), et on trouve que rac(2) est rationnel, absurde, donc x n´est pas rationnel, fini. :]

bah c´est en gros ce que j´ai fait à quelque chose près dans ma dernière.

Comment on démontre niveau 1ère/terminal que la somme d´un rationnel et d´un irrationnel est un irrationnel ?

Moi j´aurais eu tendance à dire que l´irrationnel correspond à une borne de IR alors que pas le rationnel & on concluait, mais c´est une def de prépa..

on suppose R rationnel et I irrationnel (donc pas rationnel)
si S=R+I est rationnel alors I=S-R est rationnel, ce qui n´est pas possible

ca suppose qu´on sait qu´une somme de deux rationnels est un rationnel mais ca c´est vraiment pas compliqué

Watza > Pas besoin de notion de 1°S/T°S voir Prép pour démontrer ça, des connaissances de Seconde suffisent. J´avais un exo l´année dernière dans mon bouquin de Seconde dont le but était de démontrer cette propriété justement, mais je ne m´en rappelle plus ...

ha ok merci picto.

et merci cb