Dans un repère orthonormal, C est la courbe qui représente la fonction f définie sur [0,1] par f(x)=x². On note D le domaine situé sous la courbe. On se propose de calculer l´aire A du domaine D.

Pour cela, n étant un entier strictement positif:
On partage l´intervalle [0,1] en n intervalles de longueur 1/n et sur chaque intervalle [k/n, k+1/n] (avec k=0,1,...,n-1), on construit le rectangle Rk de hauteur f(k/n) et le rectangle R´k de hauteur f(k+1/n)

On note Un la somme des aires de rectangle Rk.

1) Demontrer que Un= ((n-1)(2-1))/6n²

comme tu le dis une intégrale est une limite de produit d´images de f(xk) par des delta x(=(b-a)/n). Dans le cas présent,

lim n-> infini (x1^2*(1/n)+...+xn^2(1/n))

tu mets 1/n en évidence et tu utilise la formule de la somme des carré pour obtenir ta suite Un.