Salut j´ai un exo que j´aimerais bien que vous me corrigez svp:

On propose d´étudier la suite (Un)de nombres réels définies par:

U1=3/2 et Un+1= Un(1 + 1/2^(n+1)

1)Montrer par récurrence que Un>0 pour tout entier naturel n>=1

--> Initialisation: U1>0 donc c´est vrai

Hérédité:

Hyp: On suppose que pour un certain entier naturel n>=1 la proposition est vraie, c´est à dire: Un>0

Conclusion: Montrer que Un+1 est vraie, c´est à dire Un(1 + 1/2^(n+1) >0
Démonstration:
D´après l´hyp Un>0 et comme n>=1, 1/2^(n+1) >0, donc 1 + 1/2^(n+1)> alors Un(1 + 1/2^(n+1) >0.
Ainsi on a montré par recurrence que Un>0

C´est ça?

2) Montrer par recurrenceque pour tout entier naturel n>=1

ln(Un)= ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ... + ln(1+1/2^n)

Aucune idée j´ai beau chercher... Aidez moi svp

3) On pose Sn= 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +...+ 1/2^n
et Tn= 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... + 1/4^n

A l´aide de la 1ere partie, montrer que:
Sn - 1/2Tn <= ln(Un) <= Sn

La 1ere partie consistait pas trouver la limite d´une suite pour voir si elle est negative ou positive et de l´inégalité on trouvé l´encadrement mais la je n´y arrive pas !

4) Calculer Sn et Tn en fonction de n
En deduire lim Sn(n->+oo) et lim Tn(n->+oo)

Pour cette question il ne faut pas conjecturer une formule pour Sn et Tn?

5)a)Montrer que la suite Un est strictement croissante

Il faut le montrer a la calculette?

b) En deduire que Un est convergente. Soit l sa limite

c) On admet le resultat suivant:
Si deux suites Vn et Wn sont convergentes et telles que Vn<=Wn pour tout n entier naturel alors:

lim Vn<= lim Wn
n->+oo n->+oo

Montrer alors que 5/6<= ln l <= 1 et en deduire un encadrement de l

Voila ça serait sympa me m´éclairer parce que j´y suis depuis les vac sur cet exo et je bloque!

Merci d´avance

Je te fais le 2 :

Poson pour tout n dans IN* P(n)=" ln(Un) = ln(1+(1/(2^n)))"

P(1) --> Evident par le calcul !

P(n+1) --> Supposons P(n) vraie à un rang n fixé quelconque dans IN*, et montrons que Pn+1 vraie :

Là tu pars de ln(Un+1) = ln(Un(1+(1/(2^n+1))))

= ln(Un) + ln(1+(1/(2^n+1))) (*)

D´après P(n) tu remplaces ln (Un) par ta somme, soit :

(*) = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ... + ln(1+1/2^n) + ln(1+(1/(2^n+1)))

d´où P(n+1) vraie !!

On a donc monter par récurrence que pour tout n dans IN*, ln(Un) = ln(1+(1/(2^n))).

Posons*
Montrer*

Merci j´ai compris!!
Mais la 3 est dur aussi

Correction :

P(n)="ln(Un)=ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ... + ln(1+1/2^n))"

Même chose dans la conclusion, désolé pour cette grosse erreur...