Voila ma petite équation sur laquelle je bloque :

On considére f(z)=z^4 - 4z^3 + 12z^2 - 20z + 35

a) Prouver que l´équation f(z)=0 admet deux solutions imaginaires pures.

b)Démontrer que f(z) est factorisable par z^2+5 et établir la factorisation

c) Résoudre f(z)=0

Il me semble qu´il y a une méthode pour résoudre ce genre de chose, merci d´avance pour tout aide !

dans mon cours y avais un truc du genre on remplace z par ib mais je sais pas si ca s´applique la..

a) pour prouver que f(z)=0 admet deux solutions imaginaires pures, il faut poser z€iR soit z=ib, où b€R et tu places cette écriture dans ton équation f(z)=z^4 - 4z^3 + 12z^2 - 20z + 35 pour en déduire, normalement, deux valeurs de b qui pourront répondre à la condition f(ib)=0.

b)pour démontrer que f(z) est factorisable par z²+5, tu peux faire une division de polynômes, mais si tu sais pas faire, tu peux trouver a,b,c € R^3 tels que f(z)=(z²+5)(az²+bz+c)

ou bien encore tu peux utiliser les deux solutions précédentes qui sont des racines z1 et z2 de ton polynôme f(z) de degré 4 et factoriser f(z) par (z-z1)(z-z2), de sorte que tu aies f(z)=(z-z1)(z-z2)(az²+2z+c) (on retombe sur la même méthode que la précédente)
Remarque qu´avec cette méthode on devrait avoir z^2+5=(z-z1)(z-z2)

c)avec la factorisation précédente, après avoir déterminé a,b, et c, tu peux résoudre f(z)=0 uisque tu as une écriture du type f(z)=(z²+5)(az²+bz+c) et il ne te reste qu´à trouver les racines de z²+5 et az²+bz+c, ce que tu devrais savoir faire, puisque a,b, et c sont, je le rappelle, des réels.

ouaip, tu remplaces z par ib où b appartient à R :

tu obtiens : b^4+4ib^3-12b^2-20ib+35

tu sépares les rééls et les imaginaires : (b^4-12b^2+35) et (4b^3-20b)

et tu montres que ces deux équations admettent deux racines en communs (V5 et -V5) et que donc il existe deux valeurs de b telles que f(ib)=0 et que donc f(z) = 0 admet deux solutions imaginaires pures.

Merci bien les gars !