Salut, j´ai fait un exo de math et ça serait sympa de me corriger svp:

A)

On appelle f et g les 2 fonctions définies sur l´intervalle [0,+oo[ par:

f(x)= ln(1+x)-x et g(x)= ln(1+x)-x + x²/2

1) Etudier les variations de f et de g sur [0,+oo[

--> J´ai calculé f´ et g´ pour leur signe:
f´(x)= 1/(1+x)-1

g´(x)= 1/(1+x)-1+x

0 est racine de f et g et comme l´intervalle est [0,+oo[, f´ et g´ positive et donc f et g croissante sur [0,+oo[

2) En déduire de pour tout x >= 0,
x-x²/2 <= ln(1+x) <= x

Aucune idée je ne sais pas comment m´y prendre!!

B)

On propose d´étudier la suite (Un)de nombres réels définies par:

U1=3/2 et Un+1= Un(1 + 1/2^(n+1)

1)Montrer par récurrence que Un>0 pour tout entier naturel n>=1

Je n´ai pas Un comment faire?

Après ça me bloque pour et pour le reste:

2) Montrer par recurrenceque pour tout entier naturel n>=1

ln(Un)= ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ... + ln(1+1/2^n)

A) 2) Partage ton truc en 2 inégalités et bidouille pour retrouver f et g...

B) 1) Pour avoir Un tu fais juste un décalage d´indice

Un+1 = Un(1+1/2^(n+1))
Donc Un = Un-1(1+1/2^n)

Je sais que ln(1+x)-x < ln(1+x)-x + x²/2
<=> -ln(1+x) +x > -ln(1+x) +x- x²/2
<=> x> x-x²/2

c´est ça la méthode?

Mais je ne trouve pas pour inclure ln(1+x)

merci

Tu veux montrer que x-x²/2 <= ln(1+x) <= x

D´abord mq x-x²/2 <= ln(1+x) ie ln(1+x)-x+x²/2 >= 0, ie g(x) >= 0... Si ton étude de la fonction g est bien faite, tu l´as prouvé au 1) ça. =)

Idem pour ln(1+x) <= x

a j´ai oublié de calculer les limites de f et de g en 0 et +oo!

lim f(x)=0
x->0

lim f(x)= FI oo - oo
x->+oo

lim g(x)=0
x->0

lim g(x) = meme probleme de f(x)
x->+oo

Tu ne calcules pas les limites en 0, mais les valeurs de f et g en 0...

Mais si je fais pas ça comment je trouve alors?

Aide moi stp sur pour la forme indeterminée

Tu t´en fous de la forme indéterminée, elle sert pas pour le reste. Calcule f(0) et g(0) pour conclure à la question A)2)...

f(0) et g(0) font 0, jvois pas ce que ça m´apporte

Aidez moi svp

Mary t´a tout donné.
f est croissante sur R+ et f(0)=0.
Donc tu peux en déduire f(x)>=0 Sur R+, tu retrouves la partie droite de ton inégalité.
En procédant de même avec g, tu trouveras la partie gauche.
C´est tout !

Au passage pour ta forme indéterminée avec un peu de jugeotte tu la lèves sans problème, tes deux fonctions sont croissantes, donc entre +oo et -oo le choix est vite fait...

J´me disais bien qu´il y avait un bug...
Tu as planté ton étude de f !
f´(x) est négatif sur R+...
Donc f est décroissante sur R+, et du coup avec ce que je t´ai dit, tu retrouves la bonne inégalité, et pas son opposé...

Pour la limite, c´est simple, il me semble que tu as un théorème qui te dit qu´en plus l´infini, l´exponentielle l´emporte sur les polynômes, et les polynômes l´emportent sur ln.
Donc tu peux considérer que la limite de f est celle de -x, et pour g celle de x(x/2-1).