Je m´embrouille sur cet exercice...

A et B sont des évènements de l´univers d´une épreuve aléatoire. Dites si cette affirmation est vraie ou fausse.

1. Si A et B sont incompatibles, alors ils sont contraires.
2. Si A et B sont contraires, alors ils sont incompatibles
3. Si p(A) + p(B) = 1 alors A et B sont contraires.
4. Si A et B sont contraires, alors p(A) + p(B) = 1

Sa donne quoi clairement ?

Je préfère ne pas dire de conneries, mais fais un dessin.
Incompatibilité = les sous-ensembles A et B ne sont pas séquants (A inter B = 0)
Contraire = les sous-ensembles A et B se partagent l´univers E, de manière exclusive (A union B = E).

Enfin, même avec tout ça, chui pas sûr de pas avoir sortie d´anomalie.

faux
vrai
faux
frai

Ca va alors, chui pas complètement à côté de la plaque.

Ok, j´ai enfin compris, merci bien ^^

1. Si A et B sont incompatibles, alors ils sont contraires.

Considérons le cas d´un dé à 6 faces non pipé.
A = le dé tombe sur 1
B = le dé tombe sur 2
pourtant le contraire de A = le dé ne tombe pas sur 1 = le dé tombe sur 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.

Donc faux.

2. Si A et B sont contraires, alors ils sont incompatibles

Suposons A et B contraires, alors par définition, si on n´a pas A, on a son complémentaire, donc B, et si on a A, on pas son complémentaire. Donc ils sont bien incompatibles.

3. Si p(A) + p(B) = 1 alors A et B sont contraires.

Reprenons le cas des dés.
on pose A = le dé tombe sur 2,3 ou 4
on pose B = le dé tombe sur un nombre pair
Alors P(A)=1/2 et P(B)=1/2, et A et B ne sont pas contraires.

Donc c´est faux.

4. Si A et B sont contraires, alors p(A) + p(B) = 1

on appelle C l´ensemble des éléments qui ne sont pas pris en compte par A et B. Donc P(A)+P(B)+P(C) >= 1 (puisque A U B U C = OMEGA)
D´autre part, on a vu au point 2 qu´il n´existe pas d´événement dans C, donc P(C) = 0, ce qui fournit P(A)+P(B) >= 1
Mais comme A et B sont distincts, on a P(A)+P(B)<= 1.

On a donc bien P(A)+P(B) = 1