Bonjour j´ai un petit exercice de maths pour demain et je n´y arrive pas...

x et y designent 2 entiers naturels non nuls avec 0 < x </= y, dont le PGCD est d et le PPCM est m.
On se propose de determiner x et y sachant que m²-5d²=2000.

a) demontrer que si le couple (x;y) est solution alors d² divise 2000.
---> ??
b) Décomposer 2000 en produit de facteurs premiers. En déduire les entiers naturels dont le carré divise 2000.
---> 2000=2^4+5^3
Ensuite je sais pas...
c) démontrer que 5 est un diviseur commun à d et à m. Quelles sont les valeurs possibles de d ?
d) Conclure pour les valeurs de x et y possibles.

Voilà je suis un peu paumé... merci à vous !

a) Le PGCD de 2 nombres divise leur PPCM donc d divise m et d² divise m².
On en déduit que d² divise m² - 5d² = 2000

b) 2000 = 2^4 * 5^3 donc les carrés qui divisent 2000 sont des nombres de la forme 2^a * 5^b avec a et b pairs, c´est à dire :

1 , 2² , 2^4 , 5² , 5² * 2² , 5² * 2^4 ( sauf oubli... )

qui sont les carrés de :

1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20

C´est tout pour l´instant

c) De l´égalité m² = 2000 + 5d² on déduit que 5 divise m² ( il divise le membre de droite donc celui de gauche ) donc divise m.
En fait 25 divise m².
De 5d² = m² - 2000 on déduit que 25 divise 5d² donc que 5 divise d² et donc divise d.

Pour trouver les valeurs de d, on utilise les différents résultats démontrés : d est un multiple de 5 dont le carré divise 2 000 , donc à chercher dans la liste établie dans la question b).

d) Pour chaque valeur de d , on trouve ( ou pas ) une valeur de m grâce à la relation m² - 5d² = 2000.

Ok merci ! Sinon, comment as tu éabli la liste à la question b), je n´ai pas bien compris ! Merci

Si un nombre en divise un autre alors il a les mêmes facteurs premiers. Les facteurs premiers de 2000 étant 2 et 5 alors ses diviseurs ont pour facteurs premiers 2 et / ou 5.

Par ailleurs pour que ces diviseurs soient des carrés, les exposants de leurs facteurs premiers dans la décomposition doivent être des nombres pairs.

ok merci beaucoup

Mon post n´apportera rien, mais en vous lisant je repense à moi il y a deux ans, et je peux te dire que t´es bien content de les glander à fac après le bac

( voix de ta conscience )
...et dans deux ans tu regretteras sans doute le temps que tu perds actuellement à glander mon enfant...