bon ça doit sûrement pas être compliqué mais je ne vois pas la démarche pour résoudre cet exercice:

dans IR^3 muni de sa structure euclidienne canonique, on considère l´endomorphisme u dont la matrice U dans la base canonique est:

0 & -1& 0
0 & 0 & -1
-1& 0 & 0

après avoir vérifier que u est un élément du groupe orthogonal ({}^t\!UU=Id), on demande de montrer que u s´écrit comme le produit d´une rotation et d´une symétrie

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

• game over*

up, on ne sait jamais

:/ Mary, duche, duna, .. ? :/

Bon heu d´aucun secours moi être.

L2 ?
Duche ouais, ça l´aurait fait, mais on ne le voit plus par ici...
Son forum est toujours actif d´ailleurs ?

salut, je comprends pas ta notation ({}^t\!UU=Id) (le début)

sinon, je pense pas pouvoir t´aider, mais dans R3 tu dois avoir vu comment trouver l´axe et l´angle de rotation... Pour l´axe par exemple, souviens toi de la relation entre la trace de ta matrice et le cosinus de ton angle de rotation, ca pourrait être un bon début.

c´est la tranposée de U * U
non non on a absolument rien fait sur IR^3 on s´est arrêté à O(2,IR) et on a vu que SO(2,IR) est constitué des rotations autour de l´origiine
peux tu me dire quelle est cette relation, comment la retrouver ? merci

une symetrie par rapport a tout R^3 composée d´une rotation d´axe e1 d´angle Pi

Watza > Tu me flattes lol

Viouth > Il existe toujours il me semble mais actif... =/

Désolée j´ai fait l´impasse sur ce truc, ça me prenait trop le choux ces histoires et mon cours (avec la démo) est à mon appart =/

hazz> u transforme la base canonique (e1,e2,e3) de IR^3 en la base (-e1,-e2,-e3) orthonormée donc est une symétrie par rapport à IR^3. comment fais-tu pour la rotation ?

fun la question !
Et encore plus fun la première réponse
Je préfère te répondre sur msn si ca n´ennuie pas trop les autres

il suffit de décomoser ta matrice en un produit de deux matrices : l´une étant une symétrie l´autre une rotation je sais pas si t´as qque part ces matrices la générales sinon tu les crée et tu poses tes equations comme la matrice finale possède beacoup de 0 ca devrait etre assez simple

oui mais quelle gueule ça a une matrice de rotation 3*3 ? je n´ai pas du tout de cours là dessus..

ok le_duche> ackeur@hotmail.com

• DarKil73 profil

* Posté le 07 décembre 2006 à 17:51:16 avertir modérateur
* il suffit de décomoser ta matrice en un produit de deux matrices : l´une étant une symétrie l´autre une rotation je sais pas si t´as qque part ces matrices la générales sinon tu les crée et tu poses tes equations comme la matrice finale possède beacoup de 0 ca devrait etre assez simple

ca ressemble furieusement à un message que j´ai posté sur msn ca...

Déso pour mon absence, je ne trouve plus ce forum aussi interessant... c´est toujours les memes questions de personnes qui ne cherchent pas plus loin que le bout de leur nez (c´est pas toujours le cas, mais 90% des fois ca l´est...)

En plus ce forum est mal foutu pour retrouver les topic anciens... ´fin c´est pas un forum bien monté quoi... c´est plus un chat qu´un forum........

Mon forum perso, n´a pas eu un grand succes et je ne suis plus très présent dessus, par contre je suis super actif sur
http://etudiant-scientific.forum
actif.com/index.forum (recollez les deux bouts pour avoir le lien, visiblement c´est interdit...)
ou vous me trouverez partiquement tous les jours, et ou vous trouverez aussi un certain ephemere qui est encore plus balèze que moi ! ^^

donc voilà le petit coup de pub, vous êtes les bienvenus sur ce forum de sciences en générale.

(sans compter que je viens de passer 5 minutes à trouver le mot interdit de ce message...)

le determinant de ta matrice est égal à -1. : antidéplacement.

Ensuite pour l´appartenance au groupe orthogonal, tu fais le produit scalaire des colonnes, tu trouves bien 0

Et voila, qqch comme ca.

Pour l´application de O3(IR) suffit de calculer
tU x U où t la transposée et trouver I3...
Pour la composée, tu vois que (-U) a un det = 1 donc c´est une rotation (je crois)
Tu cherches une base de E1 o^E1 sous espace propre pour la valeur propre 1 dac tu cherche X tq (-U)X=X qui est assez apparent d´ailleurs ( l´axe de la rotation est Vect(1,1,1)

Pour l´angle, technques classiques: Tr(-U) = 1+2*cos(angle de -U) et ici Tr(-U)=0 donc cos(angle)= - 1/2 et angle = (+ ou -) 2/3*Pi
Pour le signe euhhh y a un truc avec le déterminant je crois donc à compléter

Pour conclure tu dis que U-> (-U) est une symétrie par rapport à....

ok merci!!
je viens de comprendre à peu près. je n´avais pas vu cette approche, en fonction des valeurs propres de U.
en résumé Pu(X)=(X+1)(-X²+X-1), donc il existe une valeur propre simple -1, dont le sous-espace propre associé est une droite D engendrée par le vecteur -(1,1,1) (donc une symétrie par rapport au plan orthogonal P, qui transforme un vecteur X de D en -X) et deux valeurs propres complexes conjuguées dont le sous-espace propre est le plan P (donc une rotation d´angle arccos((1+tr(U))/2) par rapport à la droite D)