je ne sais pas quel est ton niveau je vais supposer que tu es en maths sup
la suite est définie par u_{n+1}=f(u_n) où f est définie sur Df=IR\{-4} par f(x)=(3x+2)/(x+4)
pour tout x de Df f´(x)=2/(x+4)² > 0
f est strictement croissante sur ]-inf,-4[U]-4,+inf[
lim_{x->-4(-)}{f(x)}=+inf, lim_{x->-4(+)f(x)}=-inf
lim_{x->-inf}{f(x)}=-3, lim_{x->+inf}{f(x)}=3
considérons l´intervalle I=[0,1] alors f(I)=[1/2,1] inclus dans I donc I est stable par f, de plus u_0=0 appartient à I
montrons par récurrence que pour tout n entier naturel u_n appartient à I
pour n=0 c´est vrai (u_0 appartient à I)
supposons que la propriété soit vraie au rang n, montrons qu´il en est de même au rang n+1
d´après l´HR u_n appartient à I donc f(u_n) est inclus dans f(I) et comme I est stable par f f(u_n)=u_{n+1} appartient à I
ainsi pour tout n entier naturel, u_n appartient à I
comme f est croissante, étudions la monotonie de la suite (u_n)
montrons par récurrence que (u_n) est une suite croissante
pour n=0 u_1=0,5>u_0 donc u_1-u_0>0 et la propriété est vraie au rang n=0
supposons qu´elle soit vraie au rang n, montrons qu´il en est de même au rang n+1
d´après l´HR u_n<=u_{n+1} or u_n, u_{n+1} appartient à I et comme f est croissante sur I f(u_n)<=f(u_{n+1}) d´où u_{n+1)<=u_{n+2} ce qui prouve que la propriété est vraie au rang n+1.
ainsi pour tout n u_{n+1}-u_n>=0 et (u_n) est une suite croissante
d´autre part comme pour tout n entier naturel u_n appartient à I, 0<=u_n<=1 donc la suite (u_n) est majorée et comme (u_n) est croissante, (u_n) est convergente
notons alors l la limite de la suite, on sait que 0<=l<=1
f est continue en l donc l vérifie f(l)=l
or f(x)=x <=> 3x+2/(x+4)=x <=> 3x+2=x²+4x <=> x²+x-2=0 <=> (x+1/2)²-9/4=0 <=> (x+1/2-3/2)(x+1/2+3/2)=0 <=> (x-1)(x+2)=0 donc les racines sont 1 et -2
comme l>=0, on en déduit l=1
d´où lim_{n->+inf}{u_n}=1
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