Voila bonjour,

en fait je bloque sur mon DM de Maths sur une petite question dont je connais la reponse mais je ne sais pas comment la prouver!
Vous pouvez m´aidez svp?

On a z=-racine(2+racine(2))+i(racine(2-racine(2))

Calculs que j´ai fait précédemment:
1. z²=2*racine(2)-2i*racine(2)
2. z²=4exp(i*(pi/4))

Et la question où je bloque:
3. Quelle est la forme exponentielle de z?

C´est un QCM et avec des valeurs approchés j´ai trouvé que la forme exponentielle est 2exp(i*(7pi/8))

Mais j´aimerais le rédiger corretement et je ne sais pas comment proceder pour arriver a cette par les calculs comme on n´est pas censé connaitre le cos et le sin de pi/8

Merci de m´aider

Ah ?
Moi j´aurais bien fait :
z = [4exp(i*(pi/4))]^(1/2)

Dans ce cas-là je tombe sur :
z = 2*e^(i*(pi/8)).
xD

Je te remercie! Mais alors c´est bizarre car avec les valeurs approchés je trouve 7pi/8

As tu bien vu le - au tout debut de la formule de z?

aaah c´est ma faute!! Mille excuses!!

En fait z²=[4exp(-i*(pi/4))]

Oui mais tu as raison, j´avais vu le "+i" mais sans faire gaffe à la suite.

Bref, de toute façon, mon indice ne vaut pas grand chose, et comme j´ai un peu oublié les complexes, je ne saurai te donner un indice valable...

Désolé, faudrait que quelques TS ou taupins passent par là, moi j´suis "out". xD

Merci quand même!

De rien. ^^´

J´ai tout de même une petite question a laquelle tu vas surement me repondre^^
J´ai un doute en fait sur la superiorité de l´exponentielle dans les limites!
Dis moi si c´est juste stp

lim (-2exp(x))=-OO
x->+OO

Ca me paraît évident que exp(x) croît plus vite que -2...

Sinon pour ta question, tu as |z^n|=|z|^n et arg (z^n) = n*arg z, avec ces deux formules tu dois pouvoir retrouver z sous forme trigo puis sous forme expo assez facilement.
Sache que aussi cos(pi/2 + x)= -sin x et que sin(pi/2+x)= cos x

Ok merci.
J´ai trouvé le module |z|=2
et arg(z)=pi/8

D´accord mais je ne comprend pas ca ne correspond pas a la formule algébrique de z!
pi/8 a un cosinus et un sinus positif
Alors que dans la formule de z le cosinus est censé être négatif!

Peux tu m´expliquer? Ou si ma reponse est fausse peut tu détaille stp?

Je viens de le faire et je trouve les mêmes résultats que toi. z=2*e(i*pi/4), quand tu le mets au carré tu retombes bien sur ce que tu as trouvé. Quel est le problème ?

Là tu m´a aidé pour trouvé la forme exponentielle de z!
Donc on a trouvé z=2*e(i*pi/8)

Le probleme c´est quand tu regardes la forme algébrique (dans mon premier message), on remarque que le cosinus de l´argument doit etre negatif et le sinus doit etre positif!

Or pi/8 a un cosinus positif et un sinus positif!!
Ca ne colle pas!

Et comment tu fais pour trouver l´argument avec z sous forme algébrique ? Parce que moi la racine qui recouvre tout m´emmerde un peu...

La forme algébrique de z est donnée au debut de l´exercice et je l´ai ecrite.

Bref ne te casse pas la tête en fait je viens de trouver mon erreur.
Tu peux me dire s´il n´y pas d´erreurs dans mon raisonnement.

z²=4exp[-i*(pi/4)]=4(cos(-pi/4)=isin(-pi/4)

Comme tu me l´a dit tout a l´heure:
arg(z²)=2arg(z)
donc
2arg(z)=(-pi/4)
arg(z)=(-pi/8)=(-pi/8)+2pi=7pi/8

Et là quand on fait un cercle trigonométrique, on voit que le cosinus de 7pi/8 est negatif et que le sinus est positif!
Donc là ca colle!

Merci de ton aide!

J´ai été trop vite!

z²=4exp[-i*(pi/4)]=4(cos(-pi/4)+isin(-pi/4))

Pfff je viens de me rendre compte que c´est du n´importe quoi ce que j´ai écrit...

Une precision quand meme : un nombre complexe non nul possede DEUX racines carrées... Faut quand meme verifier laquelle des deux est la bonne

arg (z²) = ± 2 arg(z)