Visiblement le pgcd ne sera pas une fonction de x; ou plus simplement, il ne dépendra pas de x au vu de sa factorisation.
Après on peut considérer les nombres pairs/impairs et on remarque que 2 sera toujours uyn diviseur commun aux deux nombres.
On remarque aussi que si x est un multiple de 3, alors x+3 aussi
après, ça doit avec suppositions.
soit p>3
on suppose que x=a.p avec a>=0
alors le pgcd à déterminer est celui de
ap.(ap+1) et de (ap+3).(ap+2)
avec ap+1, ap+2, ap+3 non congrus à zéro modulo p (car p>3) (en gros ap+1, ap+2, ap+3 ne sont pas des multiples de p)
dans ce cas, si p divise x, alors p divise x(x+1) mais ne divise pas (x+2)(x+3) et p n´est pas un diviseur du pgcd de ces deux nombres.
Donc on en arrive à la conclusion:
tout nombre supérieur à 3 ne divise pas le pgcd de x(x+1) et (x+2)(x+3).
C´est donc un multiple de 2 et 3. Et c´est un multiple de 3 si et seulement si x est multiple de 3.
Donc t´as une petite disjonction des cas qui reste, mais rien de bien méchant ^^
Bon, j´avoue, j´ai dû massacrer les théorèmes de Terminale S, mais ça remonte à si loin que ça me gave de tout retrouver. (genre le diviseur du PGCD, ça nécessite juste un peu de logique)
