Bonjour, j´ai une equation differentielle

y ´´+2y ´+5y = cos(2x).e^(-x)

je n´arrive pas a la resoudre... mais je vais vous expliquer ce que j´ai fait

grace a la formule d´Euler, on sait que :
cos(2x)=1/2.e^(2ix)+1/2.e^(-2ix)
donc j´ai poser f=e^(2ix).e^(-x).(ax+b)
j´ai calculer f´ puis f´´
et a la fin j´ai remplacer f par y

j´arrive donc a e^(-x)=-4ib+4b+4ia
et la je suis bloquer j´arrive pas a trouver les coefficient, si j´avais les coeff apres j´aurai trouver e^(-2ix), et puis par theoreme des superposition, on trouve la solution particuliere.

oui la solution general j´en ai pas parler, mais je l´ai trouver facilement ^^, c´est la solution particuliere qui m´embete le plus.

si vous pouviez m´aider, merci !

ce n´est pas normal qu´il te reste un e^(-x) ...
f=e^(2ix).e^(-x).(ax+b) je suis d´accord mais après f´=A*e^(2ix).e^(-x) et f´´=B*e^(2ix).e^(-x)
ou A et B sont à exprimer en fonction de a et b (et x)

quand tu reportes dans ton équation, tu simplifies par e^(2ix).e^(-x) donc, il n´y a plus d´e^(-x)

ouai, mais cos(2x) se trouve dans la solution general, donc (enfin je pense) le degré de la solution particuliere augmente de 1, donc on aura une solution particuliere de degré 1...

c´est pour sa que je prend (ax+b) et pas une constante de degré 0

heuuu (u.v)´=u´v+v´u et pareil si tu met trois facteurs, donc (u.v.o)´=u´.v.o+u.v´.o+u.v.o´

oui je suis d´accord. Il faut augenter le degré de 1 d´ou le f(x)=e^(2ix).e^(-x).(ax+b).
Ce que je disais c´est que tu avais du te planter en claculant les dérivées, sinon tu n´aurais plus de e^(-x)

f=e^(2ix).e^(-x).(ax+b)=e^((2i-1)x).(ax+b)

sa revient au meme de simplifier ou non pr e^(-x)

enfin la je vien de le refaire je trouve :

4aie^(-x)=e^(-x) => 4ai=1 => a=-i/4 (le b c´est simplifier)

donc je pense que c´est juste, ensuite, je dit que son conjugué est solution de e^(-2ix), puis j´applique le theoreme de superposition des solution :
f(part)=f+ (conjugué de f), mais je me rappelle plus comment faut faire exactement avec se theoreme...faut integré ?? non, mais quoi ??

le b tu ne pourra pas le déterminer car 2i-1 est solution de l´équation caractéristique.

après il faut prendre la partie réelle de la solution car cos(2)=Re(e^(2ix) c´est-à-dire partie réelle de -i/4*x*e^((2i-1)x).

La solution générale est est : solution particulière+solution de l´équation homogène associé.

ah, donc c´est bien ce j´ai trouver ^^
ouai, mais pour la solution particuliere

dabors j´ai trouver celle pour l´equation=e^(2ix).e^(-x) c´est fo=e^(2ix).(-i/4.e^(-x)

ensuite on sait que conjugué de fo est solution de equation=e^(-2ix)e^(-x)

et ensuite pour trouver la solution particuliere
il faut faire f(part)=1/2.fo+1/2.(conjugué)fo qui est solution de l´equation diff.

et ensuite y=f(part)+f(homogone)

c bon ??

ok je trouve f(part)=-1/4.sin(2x).e^(-x)
sa sent bon cette solution particuliere, :p j´esper qu´elle est juste ^^

Bah remplace la dans l´équation tu verras bien.