Bjr, je dois faire un exos sur le nombre d´or pour la rentrée et je galère un peu...

J´ai démontré que 1 + 1/phi = phi (avec phi = nombre d´or).
On a la suite an : an+1 : 1 + 1/an et a0 = 2.
Je viens de montrer que 3/2 ? an ? 2 et maintenant je dois prouver que :

abs(an+1 - phi) ? (4/9) abs(an - phi)

abs(...) veut dire valeur absolue et quand je note an+1, i ll s´agit de la suite an au rang n+1.

Merci d´avcance !

svp, je galère, j´ai essayé de plein de manières différentes mais je n´y arrive pas.

re

lol skoi "?" ?

"Je viens de montrer que 3/2 ? an ? 2 et maintenant je dois prouver que :

abs(an+1 - phi) ? (4/9) abs(an - phi)"
ouais un peu de mal a comprendre là.. xD

je suppose que les ? sont des <= donc dans ce cas il suffit juste d´utiliser la formule pour an: a(n+1)= 1+1/an et phi= 1+1/phi donc
a(n+1)-phi = 1+1/an -1 -1/phi = 1/an -1/phi

A partir de là, tu mets au meme dénominateur et tu passes en valeur absolue:
..... = |an-phi| / an/phi

Or, miracle, en utilisant les minorations pour phi et an tu as de suite ton <= 4/9 * |an-phi|

Heuh, scusez moi, en fait les ? sont en effet des < ou =

Grishnak, j´ai trouvé que c´était égal à abs(1/an - 1/phi) mais je comprend pas vraiment comment tu fais après puisqu´en mettant au même dénominateur je trouve un truc énorme et super lourd à traiter...

Tu as A(n+1)-Phi=|An-Phi|/(An*Phi) non ?

Or 3/2 < An < 2
Soit 1/2 < 1/An < 2/3
Soit 1/2Phi < 1/AnPhi < 2/3Phi < 4/9

D´où |A(n+1)-Phi| < 4/9 * |An-Phi|

Merci bcp Chaos, et je veux pasabuser de votre gentilesse^^ mais je suis bloqué un peu plus loins dans l´exo, c´est a peu près le même genre :

J´ai montré que (phi^2 + 1)/(2phi - 1) = phi
On a C(n+1) = (Cn^2 + 1)/(2Cn-1) C0 = 2
j´ai prouvé que phi < C(n+1) < Cn < 2 mais je n´arrives pas à montrer que :

C(n+1) - phi < (1/2)*(Cn - Phi)^2
puis que Cn - Phi < (1/2)^1+2+2^2+...+2^n

merci.

heuh je up une derniere fois parce que je suis vraiment bloqué

...

Tu as 0 < C(n+1) - Phi < Cn - Phi < 2 (1)

Soit 0 < (C(n+1) - Phi)(Cn - Phi) < (Cn - Phi)²
Comme tout est supérieur est 0, tu passes de cette inégalité à la suivante :

C(n+1) - Phi < (Cn - Phi)² / (Cn - Phi)

Or si tu te reportes à (1) tu as
Cn - Phi < 2
Soit 1/2 > Cn - Phi

Et je te laisse conclure

*

Or si tu te reportes à (1) tu as
Cn - Phi < 2
Soit 1/2 > 1/(Cn - Phi)

*

Par contre pour la deuxième tu es sûr de toi ? La somme des puissances de 2 donne des nombres astronomiques pour n assez grand, sachant que Cn - Phi < 2 - Phi, je vois pas l´intêret de démontrer ça...

Merci beaucoup, tu gères !
Pour la deuxième, j´ai trouvé, c´est juste une récurrence simple... l´intérêt c´était juste de montrer que l´on arrive à des approximations tres précises de phi pour un rang pas très élevé (à 10^-153 près pour c8).

Chaos_Clad
Posté le 03 novembre 2006 à 16:06:14

*

Or si tu te reportes à (1) tu as
Cn - Phi < 2
Soit 1/2 > 1/(Cn - Phi)

Mais comment tu arrives à ça ?
je trouve que si Cn - Phi < 2 alors 1/(Cn-phi) > 1/2...

Oui en effet en inversant l´inégalité j´ai oublié d´inverser les signes ^^

Bon bah j´ai cherché mais je trouve pas trop, je ne sais pas si je dois essyer de mettre ça sous la forme : cn+1 - phi = (Cn^2 + 1)/(2Cn - 1) - (phi^2 + 1)/(2phi -1)

Chercher quoi ? Je me suis gourré dans les signes mais ce que j´ai fait reste juste il me semble.

Oups oui, je me suis précipité et j´ai fait une erreur de notation, dsl