Help, Help ! ^^

J´ai un DM à faire, pauvre de moi ^^

http://img175.imageshack.ack.us/img175/3271/des5gg2.png

voici ma suite.
C´est au terme de nombreuses simplifications que je suis arrivé à cette écriture, simplifications que je vous épargnerai, on va faire comme si je n´avais pas fait d´erreur^^

Mais un énorme problème se pose alors à moi.

Comment puis-je montrer que cette suite est convergente (peu m´importe la limite quantitative, seule la convergence m´importe) ?

j´ai d´abord pensé au théorème de convergence monotone (suite croissante et bornée ==> converge) ; seulement, il faudrait que je prouve que cette suite est bornée.

pour ce faire, je ne vois guère que la récurrence, mais cette méthode serait longue, or, le prof a dit que le dm était facile et rapide...

alors, il ne me reste qu´une seule possibilité
affirmer que cette suite est convergente par une propriété qui dirait que toute suite définie par récurrence telle que Un+1=Un+"qqch qui tend vers 0 positivement" est convergente...

seulement, cette propriété, j´en ai jamais entendu parler XD

je pourrai aussi majorer chacun des termes de la suite, puis, dire que la suite entière est majorée, mais ça serait long aussi...

vous avez une idée qui fasse que je puisse affirmer que la suite est convergente en 2-3 lignes, et sans grande difficulté intellectuelle ?

une récurrence est facile et rapide...

par récurrence, ça donne

supposons que Sn soit majorée par un réel x
alors,
Sn<x
(4/9)^n * rac(3)/12<1
alors,
Sn + (4/9)^n * rac(3)/12 < x+1
Sn+1<x+1

mais ça, ça ne montre pas que la suite est majorée...

Bah au pire tu peux essayer de dire que
(4/9)^n tend vers 0 quand n tend vers +oo
donc (4/9)^n*V(3)/12 tend aussi vers 0
donc Sn+1 tend vers Sn..
Euh ouais en tout cas ça doit vouloir dire qu´elle converge.. mais on sait pas vers quoi xD
M´enfin pas dit que mon truc soit bien rigoureux, comme d´ab..

oui, c´est ce à quoi je vais devoir être réduit ^^