Bonjour a toutes et a tous je suis en phec j´ai un dm a faire durant les vacances et j´ai oublié de ramener dans ma maison familiale mes cours de premiere annee sur lers matrices.

Pouvez vous me redire comment on prouve qu´ une matrice est inversible? C´est pas si et seulement si les coefficients de sa diag principale ne sont pas nuls???

Dans mon cas j´ai une matrice (3,3)

il ne faut pas resoudre un systeme du genre

alphax1 + betay1 + gammaz1 = 0
alphax2 + betay2 + gammaz2 = 0
alphax3 + betay3 + gammaz3 = 0

ensuite pour les valeurs propres, il me semble qu´il faut resoudre une systeme du type

alphax1 + betay1 + gammaz1 = lambax
alphax2 + betay2 + gammaz2 = lambay
alphax3 + betay3 + gammaz3 = lambaz

?? ?

Merci d´avance pour vos réponse, amis jeuxvidéens.

oups pardon j´ai oublié de précise Phec2 sur le titre du topic

Une matrice est inversible si son determinant est non nul

Pour les valeurs propres, il faut resoudre (en x € R/C/...) l´equation det(M-x*ID) = 0

Pour les valeurs propres, tu cherches les polynôme associé P(lambda), c´est-à-dire det(M-lambda), et ses racines sont les valeurs propres. Une fois que tu les as, tu résouds les systèmes oui

ok merci mery. Hazz tu veux dire quoi par son determinant est non nul. Que la matrice (3,3) admet d´autres solutions que (0,0,0)?

mais quel systeme tu resous pour aboutir a ce sreesultat?

alphax1 + betay1 + gammaz1 = 0
alphax2 + betay2 + gammaz2 = 0
alphax3 + betay3 + gammaz3 = 0

ou

alphax1 + betay1 + gammaz1 = x
alphax2 + betay2 + gammaz2 = y
alphax3 + betay3 + gammaz3 = z

?? ?

Bah tu as une matrice (3;3), si son déterminant est nul elle n´est pas inversible, sinon c´est bon... Aucun système à résoudre, juste un déterminant à calculer (Sarrus... )

ok mais au risque de paraitre con mais c´est quoi un determinant???

Des determinants (3,3) : quel mauvais souvenir !

Lol ok j´ai compris Oublie le déterminant.

Donc tu as ta matrice M. M est la matrice d´un endomorphisme u.
Tu prends (alpha, beta, gamma)€R^3, et tu dis qu´il existe (x,y,z)€R^3 tel que u((x,y,z))=(alpha,beta,gamma) ssi
M*(x,y,z)=(alpha,beta,gamma)

Et dans ce système-là, x,y et z sont les inconnues

Si ton système est de Kramer, c´est-à-dire s´il n´existe qu´une unique solution, alors ta matrice est inversible.

( (x,y,z) et (alpha,beta,gamma) sont des vecteurs, ils s´écrivent verticalement... ^^ )

ok ouais je vois merci

mais avant de calculer la matrice inversible cmt montrer si elle l´est ou pas?

Ma matrice est

( 1 4 alpha )
( 1 2 1 ) l2 - l1
( 1 1 0 ) l3 - l1

donc est-ce que ce calcul

( 1 4 alpha )
(0 -2 1-alpha)
(0 -3 -alpha ) 2l3 + 3l2

( 1 4 alpha )
(0 -2 1-alpha)
(0 0 3-alpha)

donc la matrice inversible ssi 3-alpha différent de 0 soit alpha différent de 3???

oui

ok donc je me suis pas trompé c´est bien A inversible ssi alpha différent de 3

Mais comment calculer A-1 par la suite???

la méthode du pivot tu connais ?

tu résouds le système AX=B
=> X=A^(-1)B te donne l´inverse de A

concretement vous pouvez detailler? Je n´ai pas pris mes cours de 1ere annee avec moi et j´ai un dm a faire

en gros si on a

M=
(a b c)
(d e f)
(g h i)

Comment calculer M-1?

J´avais fait

(a b c) (x) (1 0 0)
(d e f) (y) = (0 1 0)
(g h i) (z) (0 0 1)

dou un systeme

ax+by+cz = 1
dx+ey+fz = 1
...

Mais ca marche pas je ne vois pas ou est lerreur

B est une matrice colonne (la matrice des seconds membres du système)

ax+by+cz=b1
dx+ey+fz=b2
gx+hy+iz=b3

en effectuant
L2<-aL2-dL1
L3<-aL3-gL1
puis:
L3<-(ae-bd)L3-(ah-bg)L2

tu déduis X=(x,y,z) en fonction de B=(b1,b2,b3) et cela te donne les coefficients de A^(-1) (puisque X=A^(-1)B)

oui mais ici b1 b2 et b3 ne valent pas 1,1,1???

Je cherche sur google depuis tout a l´heure mais impossible de trouver un site illustrant une methode par un exemple precis.

vous pouvez m´expliquer selon une matrice 3,3 donnée???

et comment on trouve le big calcul de la transporee dans
http://homeomath.imingo.net/invmat.htm???

l´inverse d´une matrice est le produit de la transposée de la matrice des cofacteurs et de l´inverse du déterminant (les cofacteurs sont g_ij=(-1)^(i+j)D_ij où D_ij est le déterminant de la matrice obtenue en barrant la i-ième ligne et la j-ième colonne)
si tu n´as pas vu les déterminants, utilise ma méthode. b1, b2 et b3 sont quelconques, on ne les introduit que pour déterminer les coefficients de la matrice A^(-1)

par ex A=(2 3 / 4 5)
2x+3y=a
4x+5y=b

on trouve x=(1/2)(-5a+3b) et y=2a-b
d´où les coefficients de A^(-1) ...