soit une forme quadratique q sur un espace vectoriel E définie par:
q(u)=somme(i, a_i*l_i(u)²) pour tout vecteur u de E

où les l_i(u) sont des formes linéaires sur E, et les a_i des coefficients tels que (a_1,...,a_r)>0 et (a_(r+1),...,a_n)<0 où r est le rang de q (c´est l´expression generale d´une forme quadratique sur E reduite par la methode de gauss)

comment déterminer une base orthogonale de E pour q dans laquelle la matrice de q est diagonale ?
qq1 peut m´expliquer la procèdure (qui n´est pas dans mon cours) en traitant un exemple simple sur IR² ?

bon j´ai trouvé ma réponse

soit (f_1,..., f_n) une telle base orthogonale
alors par définition pour tout i, j<>i variant de 1 à n, l_i(f_j)=d_ij où d_ij est le symbole de kronecker
ce qui aboutit à un système de n équations à n inconnues qui sont les coordonnées de f_j sur une base de E. pour résoudre le système on fait varier ses seconds membres (b_j) sur la base canonique de E en posant b_j=d_ij
une formule matricielle plus rapide permet, connaissant la matrice Q des (l_i) dans la base duale de E d´après l´expression même de la forme quadratique, de déterminer directement la matrice de passage P de la base canonique de E à la base (f_j) qui est définie par: P=(t(Q))^(-1)
où t(Q) est la transposée de Q

un exemple sur IR²
q(u)=x²+2xy =(x+y)²-y² pour tout u=(x,y) de IR²

forme polaire de q: b(u,v)=xx´+xy´+x´y pour tous u=(x,y) et v=(x´,y´) de IR²

donc Q=(1 0 / 1 -1)
et il vient: P=(-1)(-1 -1 / 0 1)=(1 1 / 0 -1)
donc en posant f1=e1, f2=e1-e2
(f1,f2) est une base orthogonale pour q
(et on vérifie b(f1,f2)=b(f2,f1)=1+-1+1*0=0)

la matrice de q dans la base (f1,f2):
A=(1 0 / 0 -1)

d´ailleurs je me rends compte que j´ai fait une erreur dans la définition des coefficients (a_i)
on a p entier naturel tel que (a_1,...,a_p)>0 et(a_(p+1),...,a_r)<0 où r=rg(q)
(p,r-p) étant la signature de q

L2 ? c´est quoi cette classe ?

2eme année de licence...