Bonjour,

J´ai quelques problèmes de maths cette année avec le calcul vectoriel dans la plan. J´ai un petit exo, et je bloque à la seule question, je ne sais pas par quoi commencer, siv ous voulez bien m´aider :

ABC est un triangle, I est le milieu de [AC], J le symétrique de B par rapport à C et K un point tel que v(AK)= a*v(AB) où a est un réel et v() un vecteur.

L´objectif de cet exercice est de trouver la valeur du coefficient de colinéarité ´a´ afin que I,j et K soient alignés.

I - Méthode du calcul vectoriel :

1) Exprimer v(IJ) et v(IK) à l´aide de v(AB) et v(AC)

2) Trouver la valeur du coefficient de ´a´

Merci d´avance.

Tu n´as qu´à suivre les consignes et utiliser la relation de Chasles :
IJ = IC + CJ
IC = 1/2 AC
CJ = BC = BA + AC
Je te laisse faire.

Ok, alors :

1) v(IJ) = 1/2*v(AC) + v(BA) + v(AC)
v(IJ) = 3/2*v(AC) + v(BA)

v(IK) = v(IA) + v(AK)
v(AK) = a*v(AB)

v(IK) = v(IA) + a*v(AB)
v(IK) = a*v(AB) + 1/2*v(AC)

2) v(IK) = k*v(IJ)
a*v(AB) + 1/2*v(AC) = k*(3/2*v(AC) + v(BA))
a*v(AB) + 1/2*v(AC) = (k*3/2*v(AC)) + k*v(BA)

Après j´vois pas comment finir .... il y´a "deux inconnues" ...

Ecris ensuite une égalité pour les vecteurs v(AC) et une égalité pour les vecteurs v(AB). Avec la 1ère tu trouveras k, puis en le remplaçant dans la 2ème tu truveras a.

J´arrive à (a + k)*v(AB) = k*v(AC)

Soit a + k = k, soit a = 0, c´est ça ?

Non. Il faut écrire que :
1/2*v(AC) = k*3/2*v(AC)
et a*v(AB) = k*v(BA)
A partir de la 1ère de ces 2 équations tu trouves k, puis en le mettant dans la 2ème tu trouves a.

Ok, je trouve k = 1/3, donc a = 1/3, c´est ok ?

Non, car dans la 2ème égalité d´un côté tu as v(AB) et de l´autre v(BA).

ok, donc a = - 1/3 ?

oui

Mais après avoir fait un dessin ça me paraît bizarre, mais j´ai fait les calculs et je tombe comme toi.

Désolé du triple post.

Il y a une erreur dans le vecteur IK : tu as mis
v(IK) = a*v(AB) + 1/2*v(AC) alors que c´est
v(IK) = a*v(AB) - 1/2*v(AC)

Donc tu devrais trouver k = -1/3 et a = 1/3

Je te remercie, un dernier exo :

ABC est un triangle, M et N les points tels que v(AM) = k*v(AB) et v(BN) = k*v(BC) où k est un réel différent de 0 et 1. On note I le milieu de [AB], J celui de [BC] et G celui de [MN].

Démontrer que I, J et G sont alignés....

J´ai pensé à prendre comme repère (pour détourner les "éclatement" de vecteur) C(v(CB);v(CA)) et faire des calculs analytiques mais je n´y arrive pas ...

Merci davance.

PS : J´ai vu les barycentres

Il n´y a pas besoin des barycentres.
Moi je me suis servi des vecteurs AB et BC :
IJ = IB + BJ = 1/2 AB + 1/2 BC

IG = IM + MG
IM = IA + AM = -1/2 AB + k*AB = (k - 1/2)AB
MG = 1/2 MN
MN = MB + BN = (1 - k)AB + k*BC
donc IG = (k - 1/2)AB + (1 - k)/2 AB + k/2 BC = k/2 AB + k/2 BC

Après il faut faire comme tout à l´heure.

Y´a un pb v(IJ) = v(IG) pour k = 1, or l´énoncé nous dit que k est diff de 0 et 1 ...

Oui mais tu remarques que IG = k*IJ, donc pour n´importe quelle valeur de k I, G et J sont alignés. C´est ce qu´on te demandait.