on souhaite montrer que |Un-a|<(2/3)^n

bla bla je vous passe les detail, c´est vrai au rang 0, est-ce vrai au rang n+1...

|Un-a|<(2/3)^n
|Un+1-a|<(2/3)^n+1
|un+1-a|<(2/3).(2/3)^n
3/2.|Un+1-a|<(2/3)^n
sachant que 3/2>1 donc (3/2)|Un+1-a|>|Un+1-a| donc :
|Un+1-a|<3/2.|Un+1-a|<(2/3)^n
|Un+1-a|<(2/3)^n

donc P est vrai au rang n+1. En faite je me demandais si j´avais le droit de partire comme je suis partie. Sinon je vois pas comment je peux faire autrement pour la demontrer.

En suite si vous pouviez m´aider a montrer que :

1/((k+1).ln(k+1)) < ln(ln(k+1))-ln(ln(k)) < 1/(k.ln(k))

voila, merci bonne journé a tous

Tu pars directement de "|Un+1-a|<(2/3)^n+1" mais c´est le résultat que tu dois montrer. Donc ta récurrence ne peux pas être juste.

Comment est définie Un ?

Un est definie par Uo>0 et Un+1=g(Un) avec g(x)=ln(1+2x)

on a etudier les variation d´une fonction f tel que f(x)=x-g(x) et on en a conclu que il existe un reel a tel que f(a)=0 avec a>1/2

on a supposer en suite que U0=1

En fait, tu dois dans un premier temps dire que tous les Un sont >0 quelque soit n ( c´est un premier constat, tu peux le faire par récurrence si ça te chante) Il faut ensuite regarder le signe de U(n+1)-U(n) =f(Un)-f(Un-1) . f étant croissante, le signe se conserve, ainsi signe(Un+1-Un)=signe(Un-U(n-1) = signe(U1-U0) qui est positif ( ln 3 > ln e =1 ) . Ta suite est donc croissante, Un> U0=1 quelque soit n. Les termes de ta suite sont donc sur [1, +oo [ . C´est parti pour la majoration : |Un-a|=|f(U(n-1))-a|< k | U(n-1) -a | , d´après l´inégalité des accroissements finis, qui dit que pour une fonction continue sur un segment, on peut majorer f(x)-f(y) par une constante majorant les f´ du segment * |x-y| . On va donc essayer de majorer la dérivée de la fonction, sur [1, +oo [ . f´(x) = 2/(1+2x) le minimum est atteint en x = 1 avec une valeur de... 2/3, surprise. On a donc k=2/3 , on réitère l´inégalité jusqu´à remontrer à U0, et on se sert du fait que a<1/2 , et ça marche ( normalement ) .