comment montrer que

arctg x= 1-x^3/3+x^5/5-x^7/7 +... est convergente pour x=1 ?? ?

merci

hum dsl c´est x-x^3/3+...

On demande la convergence de la série de terme général (-1)^n/2n+1 en fait. On peut voir cette somme comme l´intégrale, entre 0 et 1, de 1-t²+t^4+...+(-1)^n*t^(2n) dt . Les termes de l´intégrale sont ceux d´une suite géo, on peut calculer la somme... On sépare ensuite l´intégrale en deux, d´un côté un terme qui va s´intégrer en arctan, de l´autre un terme qui tend vers 0. Grace à cette méthode, tu as même la limite ( Pi/4 ) . :]

oui mais pour une série géométrique il y a convergence pour lxl<1. tu veux dire que tu coté de la série chaque intégrale converge ou bien...? excuse si je vois pas où tu veux en venir...

de plus, tu dis que le terme tend vers 0 mais ce n´est pas une condition suffisante pour la convergence de la série...

En fait, tu écris l´intégrale, et tu dis que 1-t²+t^4+...+(-1)^n*t^(2n) = somme des termes d´une suite géo de raison (-t²) et de premier terme 1 :] Ca fait donc (1+(-1)^(n+2)*t^(2n+2) )/1+t² , que tu partages en 1/1+t² + (-1)^(n+2)*t^(2n+2)/1+t² . La première moitié de l´intégrale s´intègre en arctan, la seconde tend vers 0 ( car elle peut se majorer par 1/(2n+2) qui tend vers 0) ... :] Ca va?

non lol..
explique ta majoration stp

Et bien... L´intégrale entre 0 et 1 de t^(2n+2)/(1+t²) est inférieure à l´intégrale entre 0 et 1 de t^(2n+2) , puisque t se ballade entre 0 et 1, d´accord? :] Suffit de calculer l´intégrale majorante ensuite, on trouve 1/(2n+3) ( et non pas 1/(2n+2) comme je l´avais dit, mais ça change rien donc... ) et on a le résultat. :] Ta série converge vers l´intégrale entre 0 et 1 et l´arctan, qui vaut Pi/4 .