Bonjours a tous

J´ai un DM a rendre pour samedi , meme s´il n´est pas noté , j´aimerais le faire pour mieu cmprendre
Nneanmois , j´ai plusieur probleme , c´est que je n´arriv epas a avoir le delic pour les faire

http://img220.imageshack.us/img220/9717/lastscan2px7.jpg

le 1er exo c´est un probleme mais j´arriv epas a trouve la mise en equation

le 2eme , j´ai vraiement pas compris ce qui faut faire

le 3e je pense avoir compris , mais bon un peu d´aide n´est pas de refu

merci

Pour le 1er exo :

Les 2 bacs se croisent au même instant t = L/V1 = (1500 - L)/V2
où L est la largeur du fleuve et V1 et V2 les 2 vitesses
Donc V2 = V1(L - 1500)/1500 = V1 (L/1500 - 1)

Le 1er bac arrive sur la rive opposée à t1 = L/V1 et repart à t1 + 25 mn = L/V1 + 25 mn
Le 2ème bac arrive sur la rive opposée à t2 = L/V2 et repart à t2 + 25 mn = L/V2 + 25 mn = L/(V1(L/1500 - 1)) + 25 mn

Calculons le retard du 1er bac sur le second pour le départ du 2nd voyage (ce retard peut être négatif, c´est à dire une avance) : ce retard vaut t1 + 25 mn - t2 - 25 mn =
L/V1 + 25 mn - (L/(V1(L/1500 - 1)) + 25 mn)
= (L/V1)(L-3000)/(L - 1500)

Si L < 3000 le 1er bac est en avance sur le 2nd et les 2 bacs se croisent donc à l´instant :
700/V1 + (L/V1)(L-3000)/(L - 1500) = (L - 700)/V2
=> 700/V1 + (L/V1)(L-3000)/(L - 1500) = (L - 700)/(V1(L/1500 - 1)
=> 700/V1 + (L/V1)(L-3000)/(L - 1500) = (L - 700)1500/(V1(L - 1500))
=> 700 + L(L-3000)/(L - 1500) = (L - 700)1500/(L - 1500)
=> 700(L - 1500) + L(L - 3000) = 1500(L - 700)
=> 700 L + L² - 3000 L = 1500 L
=> L² - 3800L = 0
=> L = 3800 m

Un peu prise de tête...
Raisonnement à vérifier...

EXO 1 :
v1 : vitesse du bateau le + rapide
v2 : vitesse du bateau le - rapide
x : largeur du fleuve
t1 : temps écoulé depuis entre le départ et le moment où les bateaux se croisent la 1ère fois
t2 : temps écoulé depuis entre le 1er départ et le moment où les bateaux se croisent la 2ème fois ET PENDANT LEQUEL ILS AVANCAIENT

On peut alors écrire 2 systèmes :
S1 :
x - 1500 = v1*t1
1500 = v2*t1

S2 :
2x - 700 = v1*t2
x + 700 = v2*t2

D´après S1, t1 = (x - 1500)/v1 et t1 = 1500/v2. Donc (x - 1500)/v1 = 1500/v2, d´où v1/v2 = (x - 1500)/1500.

D´après S2, t2 = (2x - 700)/v1 et t2 = (x + 700)/v2. Donc (2x - 700)/v1 = (x + 700)/v2, d´où v1/v2 = (2x - 700)/(x + 700).

En égalisant les 2 formules de v1/v2, on obtient :
(x - 1500)/1500 = (2x - 700)/(x + 700)
<=>
(x - 1500)(x + 700) = 1500(2x - 700)
<=>
x² - 800x - 700*1500 = 3000x - 700*1500
<=>
x² - 3800x = 0
<=>
x = 0 ou x = 3800.
La largeur du fleuve est forcément positive donc x = 3800.

Bon, pour l´exo 1 tu as le choix entre 2 méthodes qui donnent le même résultat.

EXO 2 :
1. 1ère équation : il suffit de passer z à droite du signe =.
2ème équation :
xy + yz + zx = 3
<=>
xy + z(x + y) = 3
<=>
xy + z(5 - z) = 3
<=>
xy = 3 - (5 - z)z = 3 - 5z + z²

2. J´ai pas vraiment compris ce qu´il fallait faire. Mais Redsparks aura peut-être compris lui.

En fait on a :

x+y = 5-z
xy = 3 - 5z + z²

On sait que pour une équation du second degré ax² + bx + c = 0 la somme des solutions est -b/a et leur produit c/a

Donc x et y solutions de aX² + bX + c = 0 si x+y = -b/a et xy = c/a
Donc 5-z = -b/a et 3 - 5z + z²
= c/a

Prenons a = 1 :

b = z - 5 et c = 3 - 5z + z²

Donc l´équation est X² + (z - 5)X + (3 - 5z + z²) = 0

Il y a des solutions => delta >= 0
=> (z - 5)² - 4(3 - 5z + z²) >= 0

=> z² - 10 z + 25 - 12 + 20z - 4z² >= 0
=> -3 z² + 10z + 13 >= 0
delta = 256

z1 = (- 10 + 16)/(-6) = -1
z2 = (- 10 - 16)/(-6) = - 13/3

-3 (z + 1)(z + 13) >= 0

=> (z + 1)(z + 13) <= 0

=> -13/3 <= z <= -1

La valeur max de z cherchée est donc -1

(sauf erreurs de calculs)

Ah ouais... J´avais complètement oublié que le produit des solutions était c/a. Comme quoi quand on se sert pas de certaines choses pendant longtemps, on les oublie.

J´ai fait une petite erreur de calcul (mais qui ne change pas le résultat :

-3 (z + 1)(z + 13/3) >= 0

=> (z + 1)(z + 13/3) <= 0

=> -13/3 <= z <= -1

La valeur max de z cherchée est donc -1

Merci bcp d´avoir fait les exo mais enfaite , je veux savoir un truc dans le 1er exo ,

a qui represente les systeme si tout

S1 :
x - 1500 = v1*t1
1500 = v2*t1

S2 :
2x - 700 = v1*t2
x + 700 = v2*t2

Qui pourrait m´expliquer a quoi correspondent les membre

excusez moi du double poste , mais j´ai compris les 2 exo , parfaitement bien

Mais dans l´exo 3 , je comprends pas la question
Qui pourrais me mettre la mise en equation, sans me le faire , j´aiemrai me debrouiller seul

merci

Voilà ce que j´ai compris pour l´exo 3 :
Soit x, y, z des réels.
x + y - z >= 0
x + z - y >= 0
y + z - x >= 0
Il faut prouver que (x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) <= xyz.
J´ai essayé mais je vois pas trop comment faire.

sans aprler trop vite , j´ai trouver la technique ;)

normalement, j´ai trouver uen technique , mais il manque les valeur numerique , sinon je vois pas comment :S

Tu me diras comment tu as fait. Parce que là je me sens pas de tout développer.

enfaite je bloke car il n´y a aps de valeur

Voici ma démonstration :

Posons :

a = x + y - z >= 0
b = x + z - y >= 0
c = y + z - x >= 0

Donc x = (a+b)/2, y = (a+c)/2, z = (b+c)/2

Il faut donc montrer que :
abc <= (a+b)(a+c)(b+c)/8
<=> (a+b)(a+c)(b+c) >= 8 abc
<=> (a+b)(a+c)(b+c) - 8 abc >= 0

(a+b)(a+c)(b+c) - 8 abc = a²b + a²c + ac² + ab² + b²c + bc² - 6 abc

= b(a² - 2ac + c²) + c(a² - 2ab + b²) + a(b² - 2bc + c²)
= b(a-c)² + c(a-b)² + a(b-c)²

Or a, b et c >= 0

Donc b(a-c)² + c(a-b)² + a(b-c)² >= 0

franchement, je comprends pas trop ton resonement ,porrais tu m´expliquer ça :

x = (a+b)/2, y = (a+c)/2, z = (b+c)/2

je comprends pas dou vient le 2 , et que signifie a b et c

Calcule a+b, b+c et a+c à partir de ce que j´ai posé

Enfait eils font montrer ça : (x + y - z)(x + z - y)(y + z - x) <= xyz.

mais toi , tu demontre autre chose :S

non emrci ,j´ai tout pigé , mais faut etre grave fort pour trouver cette technique , je l´aurai surent jamais trouver

bravo !

J´ai juste voulu simplifier l´expression...

De rien