Salut
J´aurai besoin d´aide pour un exercice de démonstration par récurrence. svp

Exercice:
On considère la suite (Un) définie pour tout entier n>ou=1 par : U1=1 et Un+1=((n+1)/(2n))xUn.

1) Démontrer par récurrence que, pour tout n>ou=1, Un>0.

2) Déterminer les 4 premiers termes de la suite, puis démontrer qu´il s´agit d´une suite décroissante.

3) Soit (Vn) la suite définie pour tout entier n>ou=1 par : Vn=Un/n.
a) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on précisera raison et premier terme.

b) Exprimer Vn en fonction de n, et en déduire une expression de Un en fonction de n. Que vaut U10?

Voilà alors pour être précis j´ai du mal partout parce que j´ai fait des récurrences mais elles n´avaient rien à voir avec celle-ci (enfin je pense).
Ce serait sympa de m´aider. Merci à ceux qui vont le faire.

1)
Euh... Ta récurrence m´a l´air d´être au plus au point banal, et même d´une simplicité extrême.
C´est pas pour t´enfoncer, mais regarde les principes de la récurrence :
i- Tu montres que Un>0 est vrai pour la plus petite valeur, ici n=1 : U1=1>0, élémentaire.
ii- Tu supposes que Un>0 pour n>0 est vrai, maintenant tu dois montrer que c´est aussi vrai au rang (n+1). Or, tu as déjà une expression de U(n+1), et à ton avis, c´est positif ou pas ?. .. Cherche pas trop loin hein...
iii- Tu conclus blablabla d´après l´axiome de récurrence, c´est vrai.

2)
Pas trop dur, de calculer de U1 à U4 ou U5 ?
Montre maintenant que U(n+1)<Un est toujours vrai !
Tu sais que Un+1=((n+1)/(2n))xUn. Donc prouve que (n+1)/(2n) < 1 et ça suffit !

3)a)
Tu cherches une suite géométrique, donc montre que le quotient (V(n+1))/(Vn) est égal à une constante (quelque soit n donc) en remplaçant bien entendu avec ce que te donne ton énoncé. Cette constante sera la raison q de ta suite géométrique. Le premier terme est V1, pas trop chiant à calculer ?

3)b)
Comment s´écrit une suite géométrique, quand tu connais sa raison q et son premier terme (ici V1) ? Relis ton cours si tu sèches...
Ensuite, tu reprends Vn=Un/n et ça se finit tout seul, avec cette nouvelle expression tu calculeras directement U10...

Honnêtement, cet exercice est ultra basique. Je ne suis plus en terminale S, je ne fais plus du tout de maths (fac de médecine), ok mon niveau était bon, mais si je te sors une correction potable en un rien de temps, c´est que tu ne maîtrises pas ou peu ton cours.
Essaie d´intégrer (dans ta tête hein...) la trame, la méthode que je t´ai donné. Ensuite, fais d´autres exercices pour découvrire de nouvelles subtilités... Si ton objectif est plus que de faire le minimum.

1°) bon je ne fais que l´hérédité,
hypotese : vrai a n,
U(n+1)=((n+1)/(2n+2))*U(n), or par hypothese, c´est vrai a n donc Un>0 or(n+1)/(2n)>0 car n>=1 donc c´est vrai a n+1

2)Tu calcules. Ensuite tu constate que n+1<2n donc n+1/2n < 1 , tu multiplie par un positif donc le sens est conservé, la tu multiplie par Un et tu obtiens U n+1<Un (UN>0 grace a la question 1)

3)Calcule V(n+1), tu obtiens alors quelque chose de la forme V(n) * raison. Ensuite tu calcule le 1er temre et tu vois que c´st U1.
De la tu sais que une suite geometrique s ecrit Un=u0*r^n. (enfin la c´est plutot Vn=V1*r^(n-1)
De lail te suffit de multiplier V par n pour avoir n. Pour U10 tu remplce n par 10