soit E et F deux K-ev de bases respectives B=(e_i)1<=i<=n et C=(f_j)1<=j<=p
on appelera L(E,F) l´ensemble des applications linéaires de E dans F, Mat(B,C)(u) la matrice de u relativement aux bases B et C

montrer que l´application u->Mat(B,C)(u) est un isomorphisme de L(E,F) dans Mnp(K)
(ceci afin de prouver que dim L(E,F)=np)

Soit M € Mn,p
il existe un unique u dans L(E,F) tel que quelquesoit j dans [1,p], u(ej) = sigma des aij fi (unicité car on definit l´image de u par l´image des elements de sa base)
donc il existe un unique u dans L(E,F) tel que M = Mat u relativement à B et C

Donc, on a bien une bijection
Ton application u->Mat(B,C)(u) est un morphise pour + et pour la loi externe + c une bijection, donc la structure d´esapce vectoriel se transmet etdim L(E,F)=np

ok !! par contre on prend j dans [1,n]
je ne comprends pas comment on prouve l´unicité
(u(e1),...,u(en)) est donc une base de Im u ?
d´apres le th. du rang si u est une bijection (dim Ker u=0) on doit avoir np vecteurs formant la base de Im u non ?

Tu confonds u et u|->Mat(B,C)(u).

Mon application u je l´ai defini par les elements de l´image de la base de E d´où l´unicité (car si il y en avait deux, elle coinciderait sur la base donc serait egale... )