Bonjour,

Jevoudrais trouver une preuve que Racine carrée de 2 (V2) est irrationnel.

Par l´absurde,
"On suppose que V2 est rationnel"
Donc il existe deux nombres entiers naturels a et b
Tels que : V2 = a/b
bV2 = a
2b² = a²

Pouvez vous m´expliquer la suite Svp ?

Merci d´avance.

je suppose que tu connais pas gauss donc je vais le faire avec la decomposition en facteur premier...

On a a² = 2b²
On decompose a et b en facteur premier
on appelle i et j les exposants respectifs de 2 dans la decomposition en facteur premier de a et b

d´un coté, on a a² donc l´exposant de 2 dans la decomposition en facteur premier est 2i
De l´autre, on a 2*b² donc l´exposant dans la decomposition en facteur premier est 2j + 1 (à cause du 2* )
D´un coté l´exposant est pair, de l´autre il est impair.

Ceci est contradictoire avec l´unicité de la decomposition en facteur premier...

Donc V2 est irrationnel

Décidémment ces jours-çi, V(2) est à l´honneur

Par l´absurde, supposons donc que V(2) soit un rationnel. Il existe alors deux entiers p et q(strictement positifs) tels que V(2)= p/q

Quitte à simplifier par le pgcd de p et q, on peut supposer p et q premiers entre eux (la fraction p / q est dite irréductible).

En élevant au carré les deux membres, on obtient :

2 = p²/q²

En multipliant par q² les deux côtés, on trouve alors :

2q² = p²

On en déduit que 2 divise p²=p×p, puisque 2 est premier, il en résulte que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p = 2k. On trouve alors :

2q² = 4k² => q² = 2k²

Cette égalité montre que 2 divise q.

On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l´hypothèse de départ, où l´on avait supposé p et q premiers entre eux. Il en résulte alors que V(2) est irrationnel.

CQFD.

pas assez rapide coeur brisé ^^
et en plus, je crois que sidel est en 2nde donc il ne connait pas gauss

J´ai enlevé Gauss

oui, mais bon, c du gauss caché ton affaire^^
la mienne est plus simple pour un seconde lol

Merci beaucoup les gars c´est sympas !

Gauss ? On voit ça quand normalement ?

TS spé maths.

en terminale S spé maths puis en sup MPSI

Mais coeurbrise t´es bien en 1ereS ?

Oui, mais il y´a quelque chose de fantastique qui s´appelle Wikipédia et Google . Plus sincèrement, cette démo n´est ni plus ni moins qu´un vulgaire copie/collé de Wikipédia, mais malgrès ça, à chaque fois que je vois un lien surligné en bleu dans un article Wikipédia de Maths, je clique dessus, j´ai déjà vu donc ce qu´était ce lemme de Gauss.

Les coupures de Dedekiiiiiiiiiiiiiind Le truc le plus chiant que j´ai pu voir en arithmétique mais le plus beau (après tout ce qui reposait sur le nombre d´or XD )

Coeurbrise Tu t´es avancé jusqu´à quel chapitre pour l´instant ?

strife > si tu as envie de faire des maths qui te serviront en HEC, fais des probas parce que tu en retrouveras plein là bas tandis que l´arithmetique, y en a pas en HEC...

monkey Yep je finis le chapitre de la dérivation après je m´attaque aux probas.

D´autant que c´est ce chapitre-ci qui m´interesse le + en maths ( j´adore les pourcentages, les jeux de hasard etc.)

Sois pas pressé, la dérivation ça vaut largement le coup de s´y attarder un peu. Ne serait-ce que parce que ça concerne les 2/3 du programme de T° XD

strife2 > En fait je ne suis pas les chapitres, avec Wikipédia, j´apprends sur le tas . Après c´est vrai que le mieux se serait de suivre le cheminement logique, mais si je m´avance c´est juste pas soif de curiosité, je vais avoir assez de boulot comme ça cette année, ça ne sert à rien de s´avancer réellement ;- )