à tous!
j´aurais besoin de l´aide d´un bon matheux pour un DM de 2nd
ça serait mieux si on pouvait faire ça sur msn
kero_doorround@hotmail.com

je vous le met quand meme

On se propose de démontrer que racine de 2 est un irrationnel.

1) Préambule
a désigne un entier naturel. Démontrer que:

a) si a est pair, alors a² est pair

b) si a est impair, alors a² est impair

2)Démonstration de l´irrationalité de racine de 2
On utilise le raisonnement de l´absurde
On suppose donc que racine de 2 est rationnel, c´est à dire qu´il existe des entiers naturels a et b, avec b différent de 0,
tels que racine de 2=a/b où a/b est irréductible.

a)Vérifier alors que a²=2b².

b)Quelle est donc la parité de a²?

Déduire du préambule que a est pair.

c)On pose a=2a´ où a´ est un entier naturel

Démontrer qu´alors b²=2a´² et en déduire que b est pair.

d)Déceler où se situe la contradiction en utilisant l´hypothèse et les questions b) et c).

e) En déduire que racine de 2 est irrationnel

1)a)
a pair => a = 2n => a² = 4n² = 2* 2n² => a² pair
b) a = 2n+1 => a² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n + 2) + 1 => a² impair

2)a) V2 = a/b => 2 = a²/b² => a² = 2b²

b) a est donc pair puisque le carré d´un nb impair est nécessairement impair

c) a = 2a´ => 4a´² = 2b² => 2 a´² = b² => b² pair
=> b pair car sinon b² serait impair

d) a pair et b pair => a= 2a´ et b = 2b´ => a/b = a´/b´ et a´ < a, b´ < b
Par le même raisonnement que précédemment a´ et b´ doivent aussi être pairs.
En itérant le raisonnement on peut simplifier par 2 autant de fois qu´on veut le rapport jusqu´à obtenir la forme c/d avec d = 1 (puisque a > b)
Or d´une part d = 1 est impair et d´autre part V2 = c est entier.
V2 n´étant pas entier il y a donc contradiction et V2 ne peut être qu´irrationnel

merci Redsparks sois béni!!

De rien

en fait je comprends pas tout dans tes réponses...

M´en doutais un peu, t´as répondu avant de lire mon post

Qu´est-ce que tu ne comprends pas ?

ah non en fait en lisant de plus près je comprends merci encore

N´hésite pas à me demander si tout n´est pas clair