j´ai un probleme avec un dm de math pr 2nd: voici l´énoncé

"le but de l´exercice est de démontrer que racine de 2 est un nombre rationnel.
pour cela on peut utiliser un raisonnement par l´absurde, c´est a dire qu´on suppose que racine de 2 est un nb rationnel et on démontre que ce n´est pas possible parce qu´on aboutit à une contradiction

1)a)justifier qu´il existe deux entiers p et q non nuls et premiers entre eux tels que racine de 2=p/q

bon moi j´ai presque rien pigé et c´est cette partie la qui me pose probles aidez moi

Parce qu´un nombre rationnel peut s´écrire sous cette forme. Et comme tu supposes que rac(5) est rationnel...

oups j´ai fait une faute en recopant: le but est de démontreer que racine de 2 n´est PAS rationnel et Prauron merci a toi de m´avoir répondu mais...je pige encore moins

Par l´absurde, supposons donc que V(2) soit un rationnel. Il existe alors deux entiers p et q(strictement positifs) tels que V(2)= p/q

Quitte à simplifier par le pgcd de p et q, on peut supposer p et q premiers entre eux (la fraction p / q est dite irréductible).

En élevant au carré les deux membres, on obtient :

2 = p²/q²

En multipliant par q² les deux côtés, on trouve alors :

2q² = p²

On en déduit que 2 divise p²=p×p et d´après le lemme de Gauss, puisque 2 est premier, il en résulte que 2 divise p, donc il existe k un entier tel que p = 2k. On trouve alors en simplifiant par 2 :

q² = 2k²

Cette égalité montre, d´après le lemme de Gauss, que 2 divise q.

On a donc montré que 2 divise p et q, ce qui est contradictoire avec l´hypothèse de départ, où l´on avait supposé p et q premiers entre eux. Il en résulte alors que V(2) est irrationnel.

CQFD.

Justement tu démontres ça par l´absurde, donc tu dois d´abord supposer qu´il est rationnel, ce qui implique que rac(2) = p/q

On connaît pas le thm de Gauss en seconde... :S

bcp

Euh V2 est pas un nombre rationnel
C´est un nombre réel,comme pi et -pi nan ?

......

Pi, e (qui sont tous les deux des nombres transcendentaux) V(2), V(3) .... ne sont ABSOLUEMENT pas des réels, car justement, comme tu l´as vu dans cet exo, il n´existe aucun nombres p et q tels que p/q = pi, e ou V(2) etc ... (définition d´un nombre réel). Mais c´est vrai que théoriquement, ces nombre appartiennent à l´ensemble R, mais ils sont classés dans une petite proportion qui leur sont réservée dans R :"nombre irrationnels", ils sont à part

Oui, réel mais pas rationnel.

Transcendants ça suffit.

pardon, "ne sont absolument pas des rationnels" confusion sur les deux termes

"il n´existe aucun nombres p et q tels que p/q = pi, e ou V(2) etc ... (définition d´un nombre réel)."

Non d´un nombre rationnel (si p et q sont entiers).

oui, je l´ai dit plus haut, j´ai fait une confusion entre les deux termes.

Humm, les racines carrées, cubiques etc... ne sont pas des nombres trascendants vu qu´ils peuvent être les racines d´équations polynominales. Les nombres transcandants sont entre autre : pi, e (bas des logarithmes néepériens), e^pi (constante de Gelfond), a^b avec a =/ 0 et a =/1 et b irrationnel (2^V(2) par exemple), sin(1) et j´en passe.