Voila je bloque sur un exo "type bac" que j´essaye de faire pour m´entraîner en vu du contrôle sur les suites :

Un définier par Uo=-3 et pour tout entier n : U(n+1)= (Un-8)/(2Un-9)

1)a) Représentez graphiquement la fontion f définie pour tout réel x différent de 9/2 par

f(x)= (x-8)/(2x-9)

(((ne vous inquiétez pas, j´arrive quand même a tracer une courbe )))

b) Utilisez cette réprésentation pour conjecturer le comportement de la suite (Un)
((( alors sa, on a fait un exemple un cours sans explication et je sais pas vraiment ce qu´il faut dire spécifiquement pour cette courbe)))

2) Démontrez par récurence que pour tout n, Un<1!

3) Démontrez que la suite est croissante et qu´elle converge!!

Voila de votre aide

f´(x) > 0 donc f(x) est croissante
Un est donc croissante à priori

Un est > 0 pour n > 1:

Par récurrence :

U1 = 11/15 > 0
U(n+1) = (Un - 8)/(2Un - 9)

U0 = -3 < 1 OK

Si Un < 1
U(n+1) = (Un - 8)/(2Un - 9) < -7/(2Un - 9) = 7/(9 - 2Un)
Or Un < 1 => 9 - 2Un > 7
=> U(n+1) < 1

U(n+1) - Un = (Un - 8)/(2Un - 9) - Un
= (Un - 8 - 2 Un² + 9Un)/(2Un - 9)
= (2Un² - 10Un + 8)/(9 - 2Un)
= 2(Un - 4)(Un - 1)/(9 - 2Un)
= 2(1 - Un)(4 - Un)/(9 - 2Un)
1 - Un > 0
4 - Un > 0
9 - 2Un > 0
Donc U(n+1) - Un > 0

Un croissante et minorée par 1 -> convergente

Redsparks

mais pour le 2 : Si Un < 1
U(n+1) = (Un - 8)/(2Un - 9) < -7/(2Un - 9) = 7/(9 - 2Un)
Or Un < 1 => 9 - 2Un > 7
=> U(n+1) < 1

or on cherche a prouver que Un<1 et U(n+1)

et pour le 1)
f´(x) > 0 donc f(x) est croissante
Un est donc croissante à priori

Un est > 0 pour n > 1:

c´est sa les conjectures? f´(x)= 2 nan? et donc on peut dire que f(x) est croissante? Pourquoi?

comme tu peux le voir, t´as fonction est pas la par hasar.
à la place de Un t´as x.

en gros t´as U(n+1)= f(Un)

pour la question b) je crois que tu dois placer U0,U1,U2 sur l´axe des abcisses (car etudier son sens de variation c´est demandé apres...)

2) Démontrez par récurence que pour tout n, Un<1!

=> on va proceder par recurrence.

soit P(n) : Un<1.

I: n=0, U0=-3 et U0<1 donc P(0) est vraie.
H: pour n>=0, supposons P(n) vraie c´est à dire Un<1.
on va montrer que U(n+1)<1.

<=> Un<1
<=> Un-8<-7 => 1)

<=> Un<1
<=> 2Un<2
<=> 2Un-9<-7 => 2)
<=> 1/(2Un-9)>-1/7
on multiplie 1)*2) ce qui donne :
(la tu fais qques bidoullage)
(Un-8)/(2Un-9)<1
U(n+1)<1

Cl: P(0) vraie, et pour n>=0 P(n)=>P(n+1) donc Vn€ N P(n) est vraie.

3) Démontrez que la suite est croissante et qu´elle converge!!

si (Un) est croissante, alors U(n+1)>=Un
or on a la fonction U(n+1)=f(Un)

U(n+1)>=Un
f(U(n+1))>=f(Un) car f est croissante sur ]9/2;+oo[.
donc U(n+2)>=U(n+1)

donc (Un) est croissante.

U1=11/15=0,73333....
U2=0,964....
U3=0,9949....
U4=0,9999....

elle semble converger vers 1.
(Un) étant croissante et toujours inferieur à 1, alors

lim Un =1.
n->+00

merde j´suis arrivé trop tard

Ben pour le 2 c´est le principe de la récurrence :
Tu montres que c´est vrai pour le 1er terme et ensuite tu montre que si c´est vrai à l´ordre n alors c´est aussi vrai à l´ordre n+1

Un > 0 pour n > 1 : oublie cette ligne, elle sert à rien, j´ai oublié de l´effacer

La conjecture c´est Un croissante car f(x) l´est
f´(x) = 7/(2x-9)²
f est l´application qui envoie Un sur U(n+1) donc qui traduit la relation de récurrence de la suite

vous 2 c´est sympa de m´avoir accorder du temps pour m´aider! Bonne soirée!

euh...redsparks "La conjecture c´est Un croissante car f(x) l´est " par forcément. j´ai eu un exo avec ca :
f(x)=(x+1)/(x+3) donc f est croissante.
mais la suite (Un) définie par U0=1 et U(n+1)=(Un+1)/(Un+3) était decroissante.

C´est bien pour ça que ce n´est qu´une conjecture...

j´ai une question pour yepppp, lors de la récurence du 2, on doit multiplier Un-8<-7 par 1/2Un-9>-1/7

j´ai pas trop bien compris comment on arriver a (Un-8)/(2Un-9)<1 car il Y a dans une inégalité < et dans l´autre >....il n´aurait pas mieux fallu ne pa faire l´inverse et diviser les 2 étapes au lieu de les multiplier?

en fait j´ai bidouiller un peu.
(Un-8)<-7 et 1/(2Un-9)>-1/7

j´ai fais ca : -(Un-8)>7

d´où (Un-8)/(2Un-9)<1

Y a un truc qui va pas, là...

Du coup j´ai également un doute sur ma démonstration...

ouch je suis perdu la comment peut ton passe de (Un-8)<-7 à (Un-8)>7

.il n´aurait pas mieux fallu ne pa faire l´inverse et diviser les 2 étapes au lieu de les multiplier?

Non, ça va pas, je reprends :

Pour x € ]-oo,1[ 1/2 < f(x) < 1 (tableau de variations)

Donc si Un < 1 (Un-8)/(2Un-9) < 1 => U(n+1) < 1

pour ta méthode redsparks mais celle de yepp m´interesse aussi si on a :
(Un-8)<-7 et 1/(2Un-9)>-1/7
on multiplie
on obtient (Un-8)x-1/7<1/(2Un-9) x -7
donc on se retrouve avec (Un-8)x(2un-9)< -49

Tu pourras pas y arriver comme ça, on ne peut pas conclure...

arf dommage elle paraissait simple cette méthode ^^

on peut pas diviser Un-8<-7 par 2Un-9<-7 au lieu de multiplier?

Non pas le droit!