j´ai un exo à faire, et j´aimerai quelques conseils !
Voici ce que j´ai fait : (avec au début, l´énoncé du problème)
On veut chercher si dans le triangle de Pascal, il existe 3 nombres ou plus et consécutifs tels qu´ils soient en progression arithmétique.
On remarque que dans le triangle, à part d´un certain rang, on a : 1 - 7 - 21 - 35 - ... or 7, 21, et 35 sont en progression arithmétique de raison 14. Donc l´ensemble des solutions que l´on cherche n´est pas l´ensemble vide.
Maintenant il faut chercher toutes les autres solutions : on appelle a, b et c les 3 entiers consécutifs en progression arithmétiques :
a = ( k pris parmi n )
b = ( k+1 pris parmi n )
c = ( k+2 pris parmi n )
j´ai rien pour faire apparaitre les factoriels, les Cnk donc c´est dur à écrire :s donc je vais détailler la suite du calcul en francais :
on sait que a,b ,c sont en progression arithmétique, donc :
R (raison) = c - b = b - a
on en déduit que :
1 / ( (k+1)! (n-k-1)! ) - 1 / ( k! (n-k)! ) = 1 / ( (k+2)! (n-k-2)! ) - 1 / ( (k+1)! (n-k-1)! )
On a simplement remplacer a, b, c par leurs valeurs, en divisant chaque coté par n! ...
Ensuite, on multiplie partout par : (k+1)! et (n-k-1)!
on obtient :
1 - ((1+k) / (n-k)) = ((n-k-1) / (k+2)) - 1
on mets tous les termes d´un coté de l´égalité :
2 - ((k+1) / (n-k) ) - ((n-k-1) / (k+2)) = 0
On mets tout au même dénominateur : - k² + (n-2) k + 2n
Le numérateur est alors : (après simplification...)
- n² - 4k² + 5n - 8k + 4kn - 2 = 0
On doit avoir un dénominateur non nul, et un numérateur nul ...
Il suffit de calculer le discrimant du numérateur :
- k² + (n-2) k + 2n = 0 (x)
delta 1 = (n-2)² + 8n
delta 1 = n² + 6n + 4
on obtient une équation du degré 2 toute simple, dont les racines sont n(1) environ (-5.23 on aime pas les écritures décimales, mais on regarde juste la valeur à la calculette pour faire une approximation ...) et n(2) environ - 0.763. Donc delta 1 est du signe négatif (signe de -1, qui est le facteur de n² dans delta 1) entre ces 2 racines, et delta 1 est positif ailleurs. Or n > 0, donc delta 1 admet 2 racines :
n...1 = ( + n + 2+- racine (n² + 6n = 4) ) / 2
n...2 = ( + n + 2 - racine (n² + 6n = 4) ) / 2
Ensuite, on s´interresse au dénominateur qui était :
" - n² - 4k² + 5n - 8k + 4kn - 2 = 0 "
- 4k² + (4n - 8) k + 5n - 2 = 0
delta = (4n - 8)² + 16 (5n - 2)
delta = 16 n² + 64 - 64n + 80n - 32
delta = 16 n² + 16 n + 32
n est positif, donc delta > 0 :
il y a 2 racines qui annulent ce polynome et satisfont toutes les conditions.
On a ainsi pour chaque valeur de k, 2n associés (à condition de satisfaire la condition (x) ). Donc il existe une infinité de solutions ...
j´en suis arrivé là, seulement il faut que je prouve correctement ma solution : il existe une infinité de n et de k. De plus il faut que je montre que n et k sont des ENTIERS positifs ! 
comment je peux faire ? 
