alors bonne rentrée ?
on vient de commencer le 1er chapitre de math (recurrence) et j´ai fais un exo pr vendredi... seulement c´est nouveau donc je sais pas si j´ai bon.
le voici:

(Un) est la suite définie par U0=1 et pour tout entier naturel n, U(n+1)=(Un+1)/(Un+3).

1)Montrer que pour tout entier n, 0<=Un<=1.
2)Etudier le sens de variation de la fonction f définie par f(x)=(x+1)/(x+3).
3)Prouver que la suite (Un) est déscroissante.

ps: <= ca veut dire inferieur ou egal

mes réponses :

deja j´ai calculé les 3 premiers termes et je trouve U1=1/2, U2=3/7, U3=5/12 (on voit qu´elle descroit deja).

1) soit P(n):0 <= Un <= 1.
-I: pour n=0, U0=1 et 0 <= U0 <= 1 donc P(0) est vraie.
-H: pour n>=0, supposons que P(n) soit vraie, c-a-d 0<=Un<=1, on va montrer que 0<=U(n+1)<=1.

0 <= Un <= 1
1 <= Un+1 <= 2
1/(Un+3) <= (Un+1)/(Un+3) <= 2/(Un+3)
or comme 0<=Un<=1 (supposée vraie), alors 1/(Un+3)>=0 et 2/(Un+3)<=1.

0 <= (Un+1)/(Un+3) <=1

-Cl: P(0) est vraie, U(n) implique U(n+1) alr Vn € N, P(n) est vraie.

2) je trouve f´(x)=2/(x+3)² ce qui est >0 donc f croissante. par ailleurs en +-oo elle tend vers 1 et en -3 elle tend vers +oo si x<-3 et vers -oo si x>-3.

3) si (Un) est descroissante, alors U(n+1) <= Un :Q(n).

-I:U0=1, U(0+1)=U1=1/2 ce qui fait U0 >= U(n+1) donc Q(0) est vraie.
-H:pour n>=0, supposons Q(n) vraie, c a d que Un >= U(n+1). on veut montrer que U(n+2)<= U(n+1).

Un >= U(n+1)
Un+1 >= U(n+1)+1
(Un+1)/(Un+3) >= (U(n+1)+1)/(Un+3)
U(n+1) >= U(n+2)
CQFD
-Cl: Q(0) est vraie, Q(n) implique Q(n+1) donc Vn€ N, Un est descroissante.

voila!

Juste pour savoir t´es en quelle classe ?

Terminale S, c´est marqué dans le titre.

Purée, c´est dur à lire format texte sur un écran...

1)
« 1/(Un+3) <= (Un+1)/(Un+3) <= 2/(Un+3)
or comme 0<=Un<=1 (supposée vraie), alors 1/(Un+3)>=0 et 2/(Un+3)<=1. »

Tu dois justifier cette étape en indiquant Un+3 positif (c´est du chipotage, mais bon) et surtout supérieur à 2.

« 0 <= (Un+1)/(Un+3) <=1 »

Il manque le passage à U(n+1) et le coup de "la propriété est héréditaire / vraie au rang n+1".

« Cl: P(0) est vraie, U(n) implique U(n+1) alr Vn € N, P(n) est vraie. »

D´après l´axiome de récurrence...

2)
Ok mais détaille le signe.
Par contre tes limites au voisinage de -3 sont fausses, petite erreur d´étourderie.
Limite en -infini ?

3)
D´après moi c´est faux :

« (Un+1)/(Un+3) >= (U(n+1)+1)/(Un+3)
U(n+1) >= U(n+2) »

Tu n´as pas U(n+2) côté droit, regarde mieux...

ok merci Viouthay, par contre pr la fonction j´vois pas le probleme...?quand x<-3 et qd x tend vers -3 la limite c´est bien +oo et quand x>-3 c´est -oo j´lai sur ma calculette ^^.

sinon pour la 3) j´ai vu. en fait U(n+2)= (U(n+1)+1)/(U(n+1)+3) c´est ca ? le probleme c´est que j´arrive pas à corrigé car on divise bien par Un+3... tu peux me dire comment fr stp ?

Mea culpa pour la limite, j´ai pas fait gaffe au numérateur qui change le signe.

C´est suicidaire de filer comme çà ô_ô c´est illisible.

Scan plutôt

En effet, je me suis bien niqué les yeux.

dsl pr ca alors ^^

c´est pasque j´ai pas de scanner au fait

Je crois que j´ai trouvé quelque chose.
Attends...

Un >= U(n+1) >=0
Un+1 >= U(n+1)+1 >=0

Tu as aussi Un +3 >= U(n+1) +3 >0
Tu passes par l´inverse :
0< 1/(U(n+1) +3) < 1/(Un +3)

Tu peux maintenant multiplier en conservant les signes, et tomber sur :
(Un+1)/(Un+3) >= (U(n+1)+1)/((Un+1) +3)

• Prie pour ne pas dire de connerie...*

à toi

De rien !
Je m´appelle Viouthay au passage.

Viouthay (moi c´est antoine, ton prenom c´est quoi ^^ ?)

sinon pr le sens de variation en fait j´ai tenté de calculé U(n+1)-Un apres tu calcules delta (trinomes) et tu px prouver que c´est negatif sauf entre les racines et donc descroissante... c´est con fallait y penser ^^

Mon prénom, c´est un secret.
(bouh, j´vais me faire taper)

Up parce que même problème...