Bonjour à tous,

Je vous propose depuis quelques temps certains problèmes-défis, et ai décidé d´en faire des officiels en attendant la création du forum Maths.

La règle du jeu est simple :

Le premier qui répond correctement au défi proposé se voit remporter la victoire. En règle générale, une démonstration est attendue. Il faut qu´elle soit correcte (un petit effort pour la rédaction est apprécié) et réponde bien à la question posée.

Evidemment, je propose une solution pour chacun des défis que je propose, mais elle n´est pas la seule. J´accepte TOUTES les démonstrations du temps qu´elle soient valables.

Je réponds à toutes les questions d´ordre techniques, mon prénom est Nicolas au passage

Voici le DEFI N°1 :

Soient x , y , z des réels positifs ou nuls vérifiant : x + y + z = 1 .

Montrez que xy + yz + zx - 2xyz est compris, au sens large, entre 0 et 22/7.

Bonne chance.

A des maths, spa bon de faire ca pendant les vacs jeune gens
T´as quel niveau en étude ?

si (x,y,z)€R^3+, et que x+y+z=1,
alors 0 \< x,y,z \< 1/3
après suffit de reprendre l´inéquation avec xy + yz + zx - 2xyz non ? (de tête)

DarKil73 ton inégalité est fausse : (0;0;1) fonctionne pour la 1ère équation.

que suis-je bête ...

on est sur jeuxvideo.com et le gars veut un forum de math

Personne d´autre ?

Je vous mets sur la piste, je commence :

Posons S = xy + yz + zx - 2xyz.
On peut toujours supposer que x <= y et y <= z.

Remarquons que les hypothèses sur x , y et z impliquent que ces trois nombres ne peuvent pas être tous > 1/3 car leur somme est 1.

Donc, on doit avoir x <= 1/3.

A vous

x + y + z = 1 et x, y, z réels positifs. Donc x, y, z appartiennent à [0;1].
Donc xy, yz, zx appartiennent aussi à [0;1] et 2xyz appartient à [0;2].
D´où xy + yz + zx - 2xyz appartient à [0;3] et donc à [0;22/7].
Et voilà

xy + yz + zx - 2xyz appartient à [0;3] et donc à [0;22/7].

I c J, x€J<=>x€I ??

DarKil73 revois tes calculs : 22/7 > 3
donc I C J , x€I => x€J

Je refuse cette solution

D´autres idées ?

Euh.... J´ai pas duuuuu touuuuuuut suivi, mais tu pourrais dire pourquoi au moins ^^

6600GTAGP Elle est parfaitement juste. En plus mon encadrement est plus précis que le tien.
T´es dégoûté parce que tu te rends compte qu´il y a une solution beaucoup plus simple que la tienne qui prend 3 pages ?

Voici le DEFI N°1 :

Soient x , y , z des réels positifs ou nuls vérifiant : x + y + z = 1 .

Montrez que xy + yz + zx - 2xyz est compris, au sens large, entre 0 et 7/22.

Bonne chance.

J´ai fait une erreur d´inattention dans l´écriture de l´énoncé (je suis impardonnable je sais) : il s´agit de 7/22 et non de 22/7.

Voilà pourquoi ta démonstration est fausse (pas fausse, mais plutot imprécise), cela m´aurait étonné qu´une telle démonstration puisse tenir la route

"T´es dégoûté parce que tu te rends compte qu´il y a une solution beaucoup plus simple que la tienne qui prend 3 pages ?" => Je l´aurais été en effet

D´accord, vu comme ça. En même temps je me disais que c´était trop simple, et l´encadrement trop large.

En effet