Bonjour à tous,

Dsl pour ce titre quelque peu abregé mais cefaisant concis.

Voilà, j´ai un problème à bien comprendre la méthode de variation de constante pour résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre.
par exemple, celle ci :
y´ - [exp(x)/exp(x)+1]y = 2x(exp(x)+1) ; y:|R->|R

Je trouve la solution générale qui est x->A[exp(x)+1]

Ensuite on détermine une solution particulière de la forme y=Ay0 ; A:|R->|R
Ainsi,
x€[R, y´(x) - [exp(x)/exp(x)+1]y(x) = 2x(exp(x)+1)
et on me dit :
<=> A´(x)[exp(x)+1] = 2x[exp(x)+1]

Ma question est : Comment détermine-t-on cette équivalence ?

Il faut que tu réinjectes ta solution dans l´équation différentielle et tu vas voir ça se simplifiera.

tu veux bien m´écire le calcul stp ?

En gros c´est une utilisation de (uv)´=u´v + uv´

Tu as ta solution générale y(x)=A.[exp(x)+1]

en posant z(x)=A(x).[exp(x)+1], tu vas avoir le terme dérivé en [A(x).exp(x)] (qui s´annule avec notre premier terme)

Et un terme en A´(x)*[exp(x)+1] qui restera donc dans ton équation, tu obtiens donc bien ton schmilblik

(Je crois que c´est clair )

D´une manière générale si tu veux résoudre
y´ + a*y = b.

Tu as f solution de l´équation homogène,

et tu poses y=lambda*f

Donc ça te fait

lambda´*f + lambda*f´ + a*lambda*f = b

Or f´ + a*lambda*f = 0,

donc lambda´*f = b.

oki merci