E est un ensemble, il faut montrer l´équivalence qui suit (f une application de E dans E):
f(A inter B) = f(A) inter f(B) f injective

j´ai un peu réussi à montrer un coté mais pas du tout l´autre.

Si quelqu´un sait comment faire, je veux bien la solution.

Question : j´ai un peu du mal avec les ensembles (pour les manipuler, etccc) je voulais savoir comment on pouvais s´entrainer car dès que j´ai un exo la dessus, je patauge.

f injective => f(A inter B) = f(A) inter f(B)

soit y qui appartient à f(A) inter f(B) :
y appartient à f(A) donc il existe au plus un x qui appartient à A tel que f(x) = y.
y appartient à f(B) donc il existe au plus un X qui appartient à B tel que f(X) = y.
f est injective donc y ne peut avoir au plus qu´un antécédent, donc x = X. Comme vu avant, x(=X) appartientà A et à B, donc à A inter B. Donc y appartient à f(A inter B), d´où l´égalité.

Je réfléchis sur l´autre sens maintenant.

CN On suppose f(A inter B) = f(A) inter f(B)
On choisit A = {x} B= {y} avec x different de y
On a vide = {f(x)} inter {f(y)} donc f(x) different de f(y) puis la contraposée

CS Soit A et B quelconque, on pose
A = {a1... }
B=(b1.... }
A inter B = {x1,....,xn}
f(A inter B) = f( x1,....,xn) = { f(x1), ... f(xn)}
f(A) inter f(b) = f(a1...) inter f(b1... ) = {f(a1).... } inter {f(b1).... } ={ f(x1)... f(xn } car f est injective (c juste un jeu d´ecriture la CS qui est dur à retranscrire sur le forum... )

Je prefere ta CS à la mienne (la mienne fait un peut bricolé surtt que les accolades ne sont pas passés.. )

c´est vrai que les accolades ça passe pas très bien.
Par contre je comprends pas trop ta CN

Je vais essayer de detaillé un peu plus

On suppose f(A inter B) = f(A) inter f(B)

On choisit A = {x} ("singleton x" ) et B= {y} ("singleton y") avec x different de y
donc f(A) = {f(x)} et f(B)= {f(y)}

On a
f(vide) = vide = f(A inter B) = {f(x)} inter {f(y)} (hypoethse de depart ) donc f(x) est different de f(y)

On a alors x different de y implique f(x) different de f(y)
puis la contraposée f(x) = f(y) implique x = y

D´accord elle est là la contraposée. Je croyais que tu faisais la contraposée de la CN donc je comprenais pas trop. Vu comme ça je suis d´accord

de rien