Bonjour.
Je me suis interrogé quant aux ensembles de nombres et je me demande si ces derniers peuvent être appréhendés "géométriquement", en ce sens qu´ils seraient, analogiquement à certains espaces géométriques ou topologiques, pouvus de dimensions; l´on aurait, par exemple 1R² ou 1R^3, ce qui permettrait d´autres méthodes analytiques, ou du moins de pallier à certains différends mathématiques. En sus, j´ai déjà entendu parler de carrés cartésiens d´ensembles infinis mais je ne sais s´il l´on peut décemment spatialiser les ensembles de nombres.
Merci de me dire ce qu´il en est effectivement ;- )

Bah R est un ensemble infini de nombres, R^{2} est un produit cartesien d´ensembles infinis, et les deux ont une interpretation geometrique.

Je ne sais pas si ca repond a ta question ?

Oui
Néanmoins, peut-on affirmer que R^{2} est un ensemble (ou un espace) bidimensionnel ?

R^n est de dimension n si je ne m´abuse

Ce que je vais dire est à vérifier.
On représente les nombres réels par une droite. Autrement dit, l´ensemble |R est de dimension 1 (puisqu´il est admis qu´une droite repose sur un espace unidimensionnel). L´ensemble C, par contre, repose sur un espace bidimensionnel (puisque l´ensemble des nombres imaginaires purs est défini selon une droite perpendiculaire à la droite des réels).
Mais pour |R², j´en sais rien

Tu ne vois pas une analogie entre C et R^{2} ?

Sers-toi du cercle d´équation x²+y²-1=0 dans le repère (0,1,i)

Je ne sais pas ce qu´est un produit cartésien, donc j´ai du mal à voir ce que peut être |R².

|R² est tout simplement l´ensemle des couples de réels

R² est un plan... Tu vois pourquoi? En fait R² c´est l´ensemble des points qui peuvent être repérés par deux éléments de R, d´où le " ² " .

Ok merci ^^ Donc oui |R² est bidimensionnel ^^

Merci :D

Par ailleurs, si l´on considère "la droite des réels" R et que l´on y dispose l´ensemble des rationnels Q, l´on "observerait" une droite lacunaire, en ce sens qu´elle ne serait nullement nantie des irrationnels.
L´on en déduit subséquemment que R a été inventé pour obvier au trous de Q...

Sinon, si l´on considère une injection de Q dans R, et que l´on appréhende cela géométriquement, on observerait que certains éléments de 1R se verraient "isoler". Par extrapolation, l´ensemble Q² serait un espace à trous à l´aune de R² et par là même, peut-être pourrait-on envisager des représentations d´ensembles de nombre topologiques. O_o
Mais je ne parviens à transcrire ce que je me représente et je ne sais si l´on peut cerner les choses de la sorte.

R² est de dimension 2, R^3 de dimension 3 et ainsi de suite.... (on m´a même posé la question pour R aujourd´hui en colle )

nombres*

Bien vu descartes, c ce qui s´appelle la densité de Q dans R (ou l´inverse, je m´en rappelle jamais... mais de tte facon les deux sont vrais, l´une de maniere triviale, mais l´autre aussi )

-descartes- bouton profilbouton profil Posté le 07 juin 2006 à 19:33:52 Avertir un administrateur à propos de ce message !
Par ailleurs, si l´on considère "la droite des réels" R et que l´on y dispose l´ensemble des rationnels Q,

QcR, non ?

Oui evidemment, c pour ça qu´on peut faire ce que dit descartes

IR^n est un espace vectoriel de dimension n
IR^n={(x1,x2,..,xn)/x1,x2,..,xn€R} = {x1(1,0,..,0) + x2(0,1,..,0) + .. + xn(0,0,..,1)/x1,x2,..,xn € R}
soit F={e1,e2,..,en} une famille de n vecteurs de R^n avec e1=(1,0,..,0),.., en=(0,0,..,1)
alors IR^n est un espace vectoriel engendré par F c´est à dire que tout élément de IR^n peut s´écrire comme une combinaison linéaire des élements de F, ce qui se note: IR^n=Vect(F)
F est donc une famille génératrice de IR^n, de plus les éléments de F étant linéairement indépendants (i.e. pour tout aj€R a1e1+a2e2+..+anen=O^n => pour tout j aj=0), F est une famille libre. F étant libre et génératrice de IR^n, F est une base de IR^n
on en déduit la dimension de IR^n (égale au nombre d´éléments de la base):
dim IR^n=Card(F)=n
c´est à dire que tout élément ou vecteur de IR^n peut s´écrire de manière unique comme une combinaison linéaire des n vecteurs formant la base F.

j´aime bien la phrase:

L´on en déduit subséquemment que R a été inventé pour obvier au trous de Q...