Bonjour tout le monde!
Notre prof de maths nous a donné des annales et des listes d´exercices.
Un me pose problème, je ne vois pas trop comment faire, j´ai une vague idée mais je tourne légèrement en rond.

Enoncé:
Soient n et k deux entiers supérieurs ou égaux à 2. Montrer que n^k peut s´écrire comme somme de n entiers impairs consécutifs

Merci de votre aide!

A mon avis il faut faire une récurrence sur k.

Heu... Je vois encore moins là...
dunadan63, tu pourrais être plus explicite s´il te plait?

Au début, j´avais pensé essayer 4 hypothèses:
si n est impair et si k est impair
etc...
Mais je me suis vite rendu compte que ça n´était pas la méthode à suivre...

déjà, est-ce que tu connais le principe de récurrence ?

En même temps en terminale, une semaine avant le bac, j´imagine bien un mec ne pas savoir faire une récurrence

pour commencer tu peux simplifier la somme de n nombres impairs consécutifs, ça peut aider pour la suite.
pose x un nombre impair, la somme des n nombres impairs consécutifs à partir de x est :
x + (x+2) + (x+4) + ... + (x+2(n-1))
après à toi de simplifier cette somme.

si x=2l+1 (l€IN) alors x+(x+2)+(x+4)+...+(x+2(n-1))=n(n+2l)
autrement dit montrer que n^k peut s´écrire comme la somme de n nombres impairs consécutifs revient à montrer que pour tout entier n et pour tout entier k supérieur ou égal à 2 il existe un entier naturel l tel que n^k=n(n+2l) c´est à dire n^(k-1)-n (>=0) est pair. or n^(k-1)-n=n(n^(k-2)-1) donc ce nombre est pair ssi n pair ou n^(k-2)-1 pair.
si n impair il faut donc que n^(k-2)-1 soit pair.
or un produit de nombre impair est impair donc le nombre n^(k-2) est impair. il s´ensuit que n^(k-2)-1 est un nombre pair et, par conséquent, quelque soit n entier naturel supérieur ou égal à 2, n^(k-1)-n est pair d´où l€IN

Hm... Comme proposé précedemment, une récurrence sur k pourrait marcher ; j´ai déjà l´initialisation en k = 2 pour n quelconque. Je te laisse différencier les cas n pair / n impair, et raisonner en prenant comme exemple des " petits " n genre 3,4,5,6 pour conjecturer un truc ( qui marche chez moi ^^ ). Pour l´hérédite, il faut déjà écrire ce que ça veut dire qu´un nombre est somme de n impairs consécutifs : n^k= a ( je sais pas ce qu´il vaut, c´est une notation, il est impair en tout cas) + (a + 2) + (a + 4) + ... + ( a + 2(n-1) ) ( puisqu´on a n nombres impairs ) = a(n+1) + 2(n+1)(n-1)/2 = (a(n-1))(n+1)... SI t´arrives à te débrouiller avec ça... ^^

hummm la récurrence me semble pas une bonne solution. pour montrer que la propriété se transmet de k à k+1 il faudrait pouvoir écrire n^(k+1)=n*(n(n+2l)) (hyp. de récurrence) sous la forme n(n+2l) avec l entier naturel et là bon courage ^^

En prenant, au lien de , an comme nombre impair " initial " , et 2(n-1)nnombres, au lieu de 2n d´avant... oO Pour moi ça marche, suffit de rentrer le n dans la parenthèses ( a(n-1)) ... enfin après je sais pas, mais ma forme est déjà différente de la tienne alors hm...

a+(a+2)+(a+4)+..+(a+2(n-1))=n(a+a+2(n-1))/2=n(a+n-
1)

a(n+1) + 2(n+1)(n-1)/2 = (a(n-1))(n+1).

Euh oui, faut un + à la place de la parenthèse que j´ai mise ici entre a et (n-1) . Enfin j´suis allé trop vite quoi x) Mais je reste persuadé que la récurrence pourrait aboutir... Vais essayer de finir, allez hop.

Mouais, ça a l´air très calculatoire, on se perd un peu... Cependant, l´idée, en partant de n^k= (n(a + (n-1)) c´est d´arriver à montrer que n^(k+1) = n ( b + (n-1)) avec b à déterminer... et bien, en calculant, trouve que n( n(a+n-1)) = n( an + n² -n ) = n( an + n² -2n + 1 + (n-1)) on pose b = an+n²-2n+1=an + (n-1)² ^^ Amarche non?

on dirait bien en effet

Salut tout le monde!
J´avais oublié ce topic..

J´ai pris l´idée que ma donné dunadan63 dans son premier post.
Soit x un nombre impair; la somme des n nombres impairs consécutifs à partir de x est:
x+(x+2)+(x+4)+...+(x=2(n-1))
Et en simplifiant et en faisant tous les calculs, on trouve:
x=n^(k-1)-n +1
Quelques soient n et k (pair ou impair); n^(k-1)-n est pair et n^(k-1)-n +1 est impair.

pour commencer le mieu c est de calculer la somme de n nombre impair consecutif
p+(p+2)+...+(p+2*(n-1))=S
(p+2*(n-1))+...+(p+2)+p=S
donc 2S=(2p+2(n-1))*n car il ya n terme ds la somme
donc S=(p+(n-1))n =n^k
se qui fait p=n^(k-1)-(n-1) qui est bien impair
( difference d un pair est d un pair)
C gagne