Bonjour,
J´aurais besoin d´incations sur la façon de résoudre un exercice sur les limites de suites.

Voici l´exercice.
Déterminer si la suite converge, puis si elle converge, déterminer sa limite.
1°) Un = SOMME de p=0 à n de (1/3)exp(p) avec n € N

Merci.

On te demanderait pas de déterminer sa limite si elle ne convergeait pas

Non mais en fait j´en ai deux à faire, mais j´ai mis que le premier car je voulais juste connaitre la méthode pour le faire.

théorème de la convergence monotone
tu démontres que ta suite est croissante, puis qu´elle est majorée

lim (1/3)^p=0
n->+00

pour p>0

Et,
lim 1/3^0=1
n->+00

Donc,
lim [1+(1/3)^1+...+(1/3)^p]=1
n->+00

Mais suis pas sûr ^^

bien, alors

tu remarques que exp(p ) = exp * exp * exp ... * exp le tout p fois.

donc en fait, tu vas reconnaitre une suite géométrique, de premier terme 1/3 et de raison e (exp(1) si tu veux).

Et la somme des termes d´une suite géométrique, tu sais faire...

J´ai tort

déjà la suite (u_n) est croissante (u_(n+1)-u_n>0 facile à démontrer)
montrons que la suite u_n est divergente
pour cela supposons que la suite soit majorée, alors il existe un réel M tel pour tout n entier naturel on ait u_n < M
or u_n < M <=> 1/3+(1/3)e+...+(1/3)e^n < M
<=> (1-e^(n+1))/(1-e)<M
<=> 1-e^(n+1) < M(1-e)
<=> e^(n+1) > 1+e-M
ce qui n´est pas vrai car à partir d´un certain rang n0=ln(1+e-M)-1 on aura pour tout n supérieur ou égal à n0 e^(n+1) > 1+e-M et donc u_n > M
donc la suite (u_n) est divergente
de plus comme (u_n) est croissante, lim(n->+inf) u_n=+inf

Tu as V(n+1) = 1/3 * 1/3^n. Avec Vn = 1/3^n. Soit V(n+1) = 1/3 * Vn. Donc suite géométrique.
La somme des termes d´une suite géométrique est :

S = V0 * ((1 - q^(n+1)) / (1 - q)).
VO = 1

Donc S = (1 - 1/3^(n+1)) / (2/3)
S = 3/2 - 3/(2 *3^(n+1))

Or lim(n->+oo) (3/(2 *3^(n+1))) = 0

Donc lim(n->+oo) S = 3/2

c´est po de la fonction exp dont il s´agit ? désolé alors, en plus je me suis trompé, car on a
1/3+(1/3)e+...+(1/3)e^n=(1/3)(1-e^(n+1))/(1-e)
et donc u_n < M <=> e^n > (1-3M+e)/e

:o)

A mon avis il a mis exp pour dire 1/3 exposant p (puissance p) et non pas pour désigner la fonction exponentielle ^^

en plus je raconte n´importe quoi lol
d´abord il y a un problème de signe puisque 1-e<0 il faut inverser le signe de l´inégalité (donc e^n < (1-3M+e)/e )
ensuite il faut distinguer les cas:

• si M>(1+e)/3 alors (1-3M+e)/e < 0 et l´inégalité est fausse, d´où u_n > M
• si M<(1+e)/3 alors en posant n0=Ent(ln((1-3M+e)/e)) n0 est un entier naturel et pour tout n0 > n on a e^n > (1-3M+e)/e donc u_n > M

donc u_n est divergente

Pas con Chaos.

Mais quand même, exp c´est un nom reservé!!! Il pouvait utiliser ^ comme tout le monde ^^

Merci à tous.