Partie A
a désigne un réel non nul et n un entier naturel non nul.
Démontrer que ((a^n)-1)=(a-1)((a^(n-1))+(a^(n-2))+...+(a^0))

Partie B : Recherche d´un PGCD
1)On considère l equation d inconnue (n,m) ou m et n sont des entiers relatifs.
11n-24m=1 (1)

a)Justifier a l aide de l enoncé d un theroreme que cette equation admet au moins une solution.

b)En utilisant l algorithme d Euclide, déterminer une solution particulière de l equation (1)

c)Déterminer l ensemble des solutions de l equation (1)

2)a)Justifier que 9 divise 10^11 -1 et 10^24 -1.

b) (n,m) désignant un couple quelconque d entiers naturels solutions de (1) montrer que l on peut ecrire : ((10^(11n))-1)-10((10^(24m))-1)=9

c)Montrer que (10^11)-1 divise (10^(11n))-1 et que (10^24)-1 divise (10^(24m))-1.
(On pourra utiliser la partie A).

Déduire de la question précédente l´existence de deux entiers N et M tels que : ((10^(11))-1)N-((10^(24))-1)M=9

d)Montrer que tt divisuer commun a (10^11)-1 et (10^24)-1 divise 9.

e)Déduire des questions précédentes le PGCD de (10^11)-1 et (10^24)-1.

Partie C : Nombres premiers

1)Le nombre (2^11)-1 est il premier ? JuSTIFier.

2)p et q étant 2 entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par (2^p)-1 du nombre (2^pq)=(2^p)^q ?
En déduire que (2^pq)-1 est divisibl par ((2^p)-1) et par ((2^q)-1).
(Pour cette question 2 on pourra utiliser la partie A)

3)Démontrer que si (2^n)-1 est premier alors n est premier.
La réciproque est elle vraie ?

voila merci pr votre aide

Ca m´énerve les mecs qui viennent ici sans formules de politesse et qui postent un exercice entier en espérant qu´on va répondre à toutes leurs questions une par une...

ya un merci quand même et puis l espoir fait vivre

c pa simple tt sa .... amuse toi bien

J´ai fait un début de ta démo à faire mais c´est étrange... Néanmoins ça te fournira une piste.

Voila :

On a a^n = a^(n-1)*a
Donc a^n - 1 = a^(n-1)*a - 1
Soit a^n - 1 = a^(n-1)*a - 1
Soit encore a^n - 1 = (a-1)*a^(n-1) + a^(n-1) - 1

Or a^(n-1) = a^(n-2)*a

Donc
a^n - 1 = (a-1)*a^(n-1) + a^(n-2)*a - 1

Soit
a^n - 1 = (a-1)*a^(n-1) + (a-1)*a^(n-2) + a^(n-2) - 1

Or a^(n-2) = a^(n-3)*a

Donc
a^n - 1 = (a-1)*a^(n-1) + (a-1)*a^(n-2) + (a-1)*a^(n-3) + a^(n-3) - 1

Ainsi
a^n - 1 = (a-1)*a^(n-1) + (a-1)*a^(n-2) + ... + (a-1)*a^(1)+ (a-1)*a^(0) - 1

Tu factorises par (a-1) à droite :
a^n - 1 = (a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+...a^1+a^0) - 1

Tu l´a compris, le -1 gène à la fin... C´est pour ça que je trouve ça étrange... :/

A toi de chercher pourquoi

1)On considère l equation d inconnue (n,m) ou m et n sont des entiers relatifs.
11n-24m=1 (1)

Théorème de bezout je pense
On a PGCD(11;24)=1 donc 11n-24m=1 admet n et m entier relatif.
Tu les trouve en faisant l´algorithme d´euclide. Puis tu le refais à l´envers.

merci de votre aide
bon j ai avancé mé la je bloque a la question 2a de la partie B

Tu te sert de la démo de la partie A

((a^n)-1)=(a-1)((a^(n-1))+(a^(n-2))+...+(a^0))

Avec a = 10 et n = 11 ou 24

merci

jveux pas faire genre je demande a chaque question, mais la suivante elle est hard ossi

enfin + en fait, parcque la 2a suffisait d´y penser

Mouarf c´est pas forcement en 10 minutes que tu vas trouver chaque réponse à chaque question

Donc sorry mais moi je fais pause pour aujourd´hui et je vais me coucher...

Cherche un peu, la solution est souvent evidente...

bonne nuit

déjà fait, tu aurais pû signaler que tu l´avais posté ailleur....

y a encore la dernière que j´arrive pas...

sd460 tu l as fait sur programmation ? j´vais voir... c vrai j´aurais du le signaler

donc j´ai juste encore besoin d´aide pour la dernière

svp

non c´était pas sur programmation.....
tu en as posté tellement que tu auras peut-être du mal à le retrouver...
Mais j´avais fait la dernière question....

ah je pensais que sa avait été supprimé sur le 18-25 ans c pour sa...

qu est ce que tu veux dire par : q<>1 et p<>1 ?