Bonjour, je ne comprend pas cet exercice ?

1. Démontrer que l´équation cox(x)=x admet dans l´intervalle [-pi/3;pi/3] une unique solution.
2. Donner un encadrement d´emplitude 10-² de cette solution

1- etudie cos(x)-x sur l´intervalle
2- soit par balayage avec la caltos, soit avec une fonction contractante si tu sais faire

Une fonction contractante? Jamais entendu parler. Si quelqu´un peut apporter des explications...

SInan, pour ta première question, c´est clairement de la bijection monotone.

Théorème de la bijection on dit chez moi

Tu dois d´abord justifier que la fonction est continue et strictement monotone. Tu l´encadre par 2 valeurs f(a) et (b) avec a et b appartenant à l´intervalle. Puis tu dis qu´il existe une unique solution entre a et b selon ce théorème.

Les fonctions contractantes, c´est des maths de sup lol

Pour l´encadrement, je sais faire (mais pas par fonction contractante!).
Sinon, je ne vois pas trop comment étudier cosx=x ? enfin sur l´intervalle !

cos(x)=x <=> cos(x)-x=0

f´x) = cos(x)-x ; f´(xo) = - sin(x)-1

mais après ?

Mais je suis en maths sup... J´ai pas encore fait ça, donc. Ca va venir.

f´(x) = -sin(x)-1 inf à 0 donc f est decroissante
f(-pi/3) superieur à 0, f(pi/3) superieur à 0 donc la fonction a au moins un zero donc...

j´ai fait ça dans le chapitre sur les derivées ( c pas le truc qui sert à grand chose mais je suis tombé dessus en question de cours, en colle... )

"Tu dois d´abord justifier que la fonction est continue et strictement monotone. Tu l´encadre par 2 valeurs f(a) et (b) avec a et b appartenant à l´intervalle. Puis tu dis qu´il existe une unique solution entre a et b selon ce théorème."
-> oui, j´ai vu ce théorème mais comment montrer qu´elle est strict monotone ? Je n´ai pas compris cette étape :
f´(x) = -sin(x)-1 inf à 0 donc f est decroissante

Merci

Chapitre sur les dérivées? J´arriverais pas à te dire si j´ai fait ou pas... Enfin, j´en demanderai plus à mon prof.

Un sinus est compris entre -1 et 1...

ah ok, -1 < sin(x) < 1 donc -2 < sin(x)-1 < 0

ok

J´ai une petite quesiton :
Est-ce bien ça le passage de : -1 < sinx < 1 à : 1 > sinx > 2 ?

Trouve t´on bien -2< f´(x)<0 ?

En fait, je n´arrive pas à faire l´encadrement ! Pouvez vous m´aider ? Merci

pr l´encadrement ,c´est tout bete tant que tu as juste des additions ou soustraction: tu n´as pas a t´embeter avec des changements de signe:

Ici: on a -1 < sinx < 1. Tu soustraies 1 dans les 3 membres: -1 -1 < sin x -1 < 1-1 <=> -2 < sinx -1 < 0

la dérivée etant négative, ta fct est décroissante sur l´intervalle.

Pour les fcts contractantes, ce sont des fcts lipschitziennes avec k<1 si je me souviens bien:
|f(x)-f(y)| < k|x-y| avec k<1

Mais a quoi ca te sert pr trouver les racines monkey ?

la dérivée etant négative, ta fct est décroissante sur l´intervalle.
-> Il s´agit de quel intervalle ? [-pi/3;pi/3], [-2;0], ou ]-oo;+oo[ ?

Sinon, je n´ai pas vu les fonctions contractantes, en fait je parlais de la question 2 !