salut à tous,

J´ai juste un doute :

Est-ce qu´une fonction f admettant des primitives sur I est dérivable sur I ?

Je pense que c´est faux.

Mais pourriez-vous confirmer.

Je crois plutôt que les fonctions qui admettent des prmitives sur I sont continues sur I. Donc la plupart du temps dérivable en a, pour a appartenant à I.

...à confirmer, je suis pas sûr

Oui après coup je pense que c´est bon

Etant donné que une fonction f admettant des primitives sur I, est continue sur I (logique). Donc si f est continue sur I alors elle est dérivable sur I

"Donc si f est continue sur I alors elle est dérivable sur I "

Non c´est pas forcément juste en fait, si la fonction n´est pas courbe (un peu comme la fonction valeur absolue en 0), alors même si elle est continue sur I, elle est pas forcément dérivable

Pour qu´une fonction admette une primitive sur un intervalle, il faut qu´elle soit continue sur cet intervalle.

Pour qu´elle soit dérivable, il faut qu´elle soit continue et que le rapport que vous connaissez ait une limite en chaque point de l´intervalle.

Continue n´implique pas dérivable, ex: valeur absolue en zéro.

Un truc qu´on peut se poser est: si f admet F comme primitive sur I, est ce que F est dérivable ?? ?

Bien vu, je me trompe tout le temps. En effet une fonction continue sur un intervalle n´est pas forcement dérivable sur celui-ci...

Mais en fait c´est pour un exercice, j´ai du mal à justifier...

J´ai h(x) = [INTEGRALE DE 0 à tan(x)] dt/(1+t²)
Je dois démontrer qu´elle est dérivable sur R.

Alors en fait, la fonction tangente réalise une bijection de ]-pi/2;pi/2[ sur R premièrement.

Mais ensuite que dire ? Ca parait tellement évident.

Je vois pas quoi démonter, c´est la définition même de l´intégrale : si F est un intégrale de f, alors F´=f (donc oui, F est dérivable).

Mon exo est plus compliqué que ça en fait....

Je l´ai scanné :
http://img232.imageshack.ack.us/my.php?image=dr72hj.jpg

Comme tu vois on a la composée d´une intégrale définie sur R et d´une fonction définie sur I

Or si je prend la définition de la dérivabilité de la composée de 2 fonctions :
u o v dérivable sur I ssi v dérivable sur I et u dérivable en u(v(x)) sur I

Bon deja si on te file ca en TS dis toi que c´est largement au dessus du niveau exigible ... mais c´est du niveau d´une terminale S d´il y a 10 ans, et c´est 3 fois plus simple que ce qui était fait en TC il y a 30 ans, mais passons sur tout ca.

1) bijection, en a-t-on vraiment la définition en Terminale S ? j´en doute, toujours est-il qu´il faut montrer que sur I, f est strictement monotone, définie continue, ca va tout seul, tan est une fonction usuelle du cours.

2) Attention à pas mélanger les pinceaux, on te dit qu´on calcule une intégrale, bon c´est bien.
Mais une integrale ya des bornes, fait vite fait un dessin, en fait la variable c´est la borne ici.

Le problème est que tu n´as pas de primitive du truc à l´interieur et faut pas la chercher (c´est Arctan normalement on connait pas en TS, ou alors t´es dans un lycée de fou).
Tu l´appelles A, sachant que sa dérivée c ´est 1/(1+t²)

Alors t´as: g(x)=A(x)-A(0)
Si tu dérives, t´as g´(x)=1/(1+x²) car A(0) est une constante.

Pour le a) tu sais dériver une composée ya pas de piège.

b) h(0)=g( tan 0 )=0

c) TOut ca ca te donne l´identité normalement...

Je t´ai un peu tout donné dans le désordre, si t´y arrives pas je préciserai.

Merci beaucoup pour toutes ces infos

Mais comment montrer que h est bien dérivable sur R !

Comme d´hab, c´est la composée de 2 fonctions dérivables !

Mais l´une est dérivable sur R et l´autre est dérivable sur ]-pi/2;pi/2[

Je en sais pas comment l´expliquer...
La bijection doit servir à le démontrer :/

svp ...

La tan envoie ton petit segment sur R entier, elle est dérivable, ainsi que la big fonction avec l´integrale, donc pas de pb...

Tu vas dériver et trouver 1, donc fonction constante, tu calcule h(0) et c´est bon !
Normalement t´as toujours 1...