Salut à tous,

Pour les vacances notre prof nous a dégoté un DM bien difficile...
Notamment un exo qui est un vrai casse-tête

Je vous donne un bout de l´énoncé :

On a f(x) = tan x et g(x) = [INTEGRALE de 0 à x]dt/(1+t²)
f est définie sur I=]-pi/2,pi/2[
g est définie sur R

On a h = g o f définie sur I

Montrez que h est dérivable sur R

Très bizarre car en fait je dois d´abord démontrer que t |-> 1/(1+tan²t) est continue sur R pour qu´elle y admette des primitives.

Or x |-> tan x n´est pas définie en -pi/2 et pi/2... Mais en tapant 1/(1+tan²(pi/2)) à la calculatrice ça me donne 0 !! !!

La fraction a un numérateur différent de 0 !! Comment est-ce possible !

C´est à se casser la tête contre les murs... Si vous avez une explication correcte, je vous écoute.

Bon j´ai une TI-89 mais après avoir essayer sur une HP 1/(1+tan²(pi/2)) = non-défini
Mais quand meme je vois pas comment procéder...

Bon bah laissez tomber j´ai trouver je pense...

En fait 1/(1+tan²(x)) = cos²(x) en cherchant à simplifier

Oui, j´allais te le marquer, c´est ça

J´ai une question aussi car j´ai peur de m´être trompé...

La composée de f(x) = tan x et g(x) = [INTEGRALE de 0 à x]dt/(1+t²) est bien :

h(x) = [INTEGRALE de 0 à x]dt/(1+tan(t)²)

OU ALORS

h(x) = [INTEGRALE de 0 à tan(x)]dt/(1+t²)

svp

pour la question de la dérivabilité d´une fonction sur R en général ça se résout en 3 lignes avec la phrase magique:

"F,G,H,T (selon comment vous l´appelé)est une composé de fonction dérivable sur R, elle est donc dérivable sur R"

voilà ça suffit et vous avez les points.

maintenant dans le cas des intégrales je sais plus comment on fait, mais la solution doit être dans ton cour car c´est une question classique je crois.

PS: tu n´aura jamais ce genre d´intégrale au bac, en juin dernier on a eu aucun calcul d´intégral d´ailleur.
Je te rassure dessuite t´aura jamais au bac à calculer une intégrale dans un exo d´analyse, les concepteurs de sujet préfère l´incorporée dans un exo avec application type, genre exo en géométrie (pour calculer les aires), ou encore exo de probas (durée de vie des composants par exemple comme ya eu en 2004) et dans ces cas là ce sont des intègrales simples à calculer.

lol ouais je sais notre prof nous l´a dit, il nous met exprès des trucs compliqués comme ça on est bien entraîné

Mais sinon pour la composée avec l´intégrale franchement j´ai maté mon cours il n´y a rien d´indiqué

Sinon pour ta dérivabilité, c´est pas bon car pour que h soit dérivable sur R tel que h = g o f il faut que f soit dérivable sur R or ce n´est pas le cas ici. (x |-> tan x étant dérivable sur I=]-pi/2,pi/2[ ici)
Donc il faut trouver autre chose... :/

ou c´est sur ça doit être plus compliqué que la phrase magique pour le cas des intégrales et donc ton cas, par contre ma solution marche pour des cas comme démontrer la dérivabilité de
f(x)=2x+5x²+3 par exemple

http://xmaths.free.fr

peut être que leur cour ya plus d´indication.

heureusement que les profs de terminale font plus que du simple bachotage, sinon les cours seraient vraiment chiant...
sinon pour ton exo :
h(x)=g(f(x))=int(1/(1+t^2),0,tan(x)) (avec des notations à la TI89)
mais de toute façon, ce n´est pas important. Ce qui importe est que h est la composée de 2 fonctions dérivables sur leur intervalle de définition donc est dérivable sur son intervalle de définition et h´(x)=g´of(x)*f´(x)

Merci tantale je pense que je saurais me débrouiller avec ça !

LE ´t´ de l´integrale est ´interne´ à l´expression de la fonction, c´est le ´x´ qu´il faut remplacer quand tu composes.

Normalement tu vas trouver l´identité ensuite.