Je regarde assez vite: (immédiatement c´est le log qui vient à l´esprit, si c´était somme/produit on penserait aux puissances...)
1- Oui, dans tous les cas on a zéro=zéro
2- Simple vérification: tu poses a et b dans I, tu calcules lambda.f et en prenant en compte que f vérifié l´égalité... (je sais pas ou tu bloques donc je mets pas de détails)
3- Tu poses: a=0 (car il est dans I d´apres l´énoncé), alors f(0xb)=f(0)+f(b) d´ou le résultat.
Note: typique des équations fonctionelles, on cherche les zéros, les uns, les opposés, etc...
4- Premier essai: un nombre et son inverse (de facon a bien avoir f(a/a)=f(1) mais ca donne rin)
Du coup tu poses a=1 et b=1 et t´as f(1)=f(1)+f(1) donc ca vaut zéro.
5- a) Ca vaut f(a) (développe f(ax) et le f(x) vire...)
b)Elle est dérivable (voir l´énoncé), tu dérives bien une constante donc ca fait zéro... (attention à bien sortir le a de la fonction que tu dérives)
c) Tu passes le " -f´(x) " de l´autre coté... Puis tu appliques pour x=1, tu as bien la valeur de f´(a) cherchée.
Note: si tu intègres k/a pour retrouver f comme à l´origine tu retrouves bien du ln(a), étrange que l´exo n´en parle pas...
6- Tu peux integrer pour manipuler du f à la place de f´, comme ca te fait du ln, les propriétés sont vérifiées directement.
Sinon, je ne vois pas comment réutiliser g en sens inverse désolé...
