Bonjour à tous !
Voila, j´ai pour demain un devoir sur les démonstrations par récurrence à rendre et je bloque sur le dernier exercice, j´ai pu faire tout les autres facilement mais celui la me pose vraiment problème
Voici l´énoncé:
Démontrer que x+y divise x^(2n)-y^(2n)pour tout entier n positif.

Si vous pouviez m´aider ce serait très sympas...

en gros tu doit prouver que x^2n - y^2n est multiple de x+y ?
c´est tres facile avec les congruences
x+y=0(x+y) ==>x=-y(x+y) ===>x^2n=y^2n(x+y)
le moins par a cause de (-1)^2n=1
d´ou x^2n - y^2n = 0(x+y)
et la je vient de prouver que x+y divise x^2n -y^2n
voila c´est fini

Euh il y a quelques trucs que je n´ai pas bien compris
En fait je n´ai compris aucune des étapes... comment passes-tu de x+y=0(x+y) à x=-y(x+y) ? et de x=-y(x+y) à x^2n=y^2n(x+y)
Et puis c´est quoi les congruences? Si c´est un outil particulier en math, c´est normal que j´aie pas compris parce que je n´ai pas encore vu cette matière.
Merci pour l´aide en tout cas

Tu es en quelle classe ? Je peux peut-être t´aider

Pour quelqu´un qui n´a pas fait de terminale spécialité maths, on peut s´en sortir quand même. Mais ce n´est pas une récurrence classique. Ici, d´après ma méthode, on doit avoir que H(n-1) et H(n) sont vraies pour que H(n+1) le soit.

Je te laisse le soin d´écrire l´initialisation, en H(0) et en H(1).
Ensuite, on écrit H(n+1) : x^(2(n+1)) - y^(2(n+1)) = x^(2n).x² - y^(2n).y² = (x^(2n)-y^(2n) )*(x² + y² ) - x^(2n).y² + y^(2n).x² A ce stade là, je voulais simplement faire apparaitre mon hypothèse H(n) qui dit que x^(2n)-y^(2n) est divisible par (x+y) c´est à dire que x^(2n)-y^(2n)=(x+y)Q c´est bien ça? Ensuite, je change la forme de [ - x^(2n).y² + y^(2n).x² ] présent dans mon expression de x^(2(n+1)) - y^(2(n+1)) . On a donc: - x^(2n).y² + y^(2n).x² = x² [ - x^(2n-2).y² + y^(2n) ] = x² ( y² [ -( x^(2n-2) - y^(2n-2) ] C´est là que tu dis que l´on suppose H(n-1) vraie, c´est à dire que [ x^(2n-2) - y^(2n-2) = x^(2(n-1)) - y^(2(n-1)) ] peut s´écrire (x+y)Q´ tu suis? Ainsi, on a: x^(2(n+1)) - y^(2(n+1)) = (x^(2n)-y^(2n) )*(x² + y² ) - x^(2n).y² + y^(2n).x² = ( (x+y) Q )*(x² + y² ) - x² ( y² [ - ( x^(2(n-1)) - y^(2(n-1)) )] = ( (x+y) Q )*(x² + y² ) x² ( y² [ - (x+y)Q´ ] ... Je te laisse le soin de factoriser par ( x+y) . On a donc bien x^(2(n+1)) - y^(2(n+1)) qui s´écrit (x+y)Q´´ . Bon, c´était un peu longuet, m´enfin, je sais pas faire autrement. Et je suis pas du tout certain que ce soit une bonne méthode.

Je suis en 6ème en Belgique (= Terminale en france je pense) mais je crois que la méthode de Super_LinK est bonne, je vais vérifier par écris.
Merci beaucoup à toi en tout cas

Il y a juste un petit truc que j´ai pas bien compris, comment peux-tu supposer comme ca que H(n-1)soit vrai ? On peut vraiment écrire x^(2n-2) - y^(2n-2)= (x+y)Q´ sans le prouver d´une quelquonque manière ?

alors si tu n´a pas vu les congruence c´est un outils tres interessant tu verra

Oui c´est la terminale lol

Ben par récurrence tu montres que la propriété est vraie pour 1 ou 0 par exemple. Ensuite tu supposes qu´elle est vraie pour n-1 pour montrer qu´elle l´est aussi pour n (autrement dit : H(n-1) vraie => H(n) vraie).

En fait, tu vois au déroulement de la récurrence que H(n-1) et H(n) sont indispensables à ce que H(n+1) soit vrai. D´accord? Bon, alors revenons à l´initialisation. On a vu que H(0) et H(1) sont vraies. Donc d´après ma récurrence, H(2) l´est aussi. Or, comme H(2) et H(1) sont vraies, H(3) l´est aussi. Etc... En fait, moi je suppose que H(n-1) est vraie, au même titre que dans une récurrence " normale " tu supposes H(n) vraie pour montrer H(n+1). Seulement, moi je fais une supposition à deux niveaux. C´est pour ça que H(0) et H(1) sont indispensables.

Oh, il manque un petit signe "-" au niveau de la dernière ligne de calcul ^^" ( (x+y) Q )*(x² + y² ) - x² ( y² [ - ( x^(2(n-1)) - y^(2(n-1)) )] = ( (x+y) Q )*(x² + y² ) - ( <- juste là ) x² ( y² [ - (x+y)Q´ ]

Oui ici les congruences c´est plus facile qu´autre chose, ça se fait en deux lignes avec les congruences...

Je ne les connais pas et puis de toutes façons, son devoir est sur les démonstrations par récurrence

Une récurrence peut-être faite avec des congruences. Kez l´a fait.

Merci beaucoup ! J´ai compris

Ce n´est pas une récurrence qu´il a faite, mais une démonstration directe, tout à fait valable cependant. Une récurrence se base un peu sur le principe des dominos: le premier tombe, le second aussi, donc le troisième etc... Ce n´est pas une récurrence.

on peut m´aider moi sur mon topic???

oui je n´ai pas fait de recurrence mais j´ai quand meme demontré ce qu´il voulait (en faite si vous connaissez les congruences alors utilisez les tant que vous pouvait car c´est trop chiant les recurrences parfois faut faire 3 recurrence
par exemple il faut que P(n)=>P(n+1)=>P(n+2) et la c´est chiant