On définit pour tout entier naturel n>0, la suite (Un)de nombres, réels strictement positifs par Un = n^2 / 2^n.
1) Pour tout entier naturel n>0, on pose
Vn = Un + 1 / Un
a) Montrer que lim ( n -> + ~) Vn = 1/2
b) Montrer que pour tout entier naturel n>0, Vn > 1/2
c) Trouver le plus petit entier N tel que, si n >= N, Vn < 3/4
d) En déduire que si n >= N alors,
Un+1 < 3/4 Un
On pose pour tout entier naturel n >= 5, Sn = U5 + U6 + ... + Un
2)a)Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n >= 5:
Un <= (3/4)^n-5 U5
b) Montrer que pour tout entier naturel n >= 5,
Sn <= [1+ (3/4) + (3/4)^2 +...+ (3/4)^n-5] U5
c) En déduire que pour tout entier naturel
n >= 5, Sn <= 4 U5
3) Montrer que la suite (Sn)n >= 5 est croissante
[[[ n^2 -> n au carré
2^n -> 2 puissance n
Un -> U indice n
Vn -> V indice n
~ -> l´infini
= -> supèrieur ou égal
<= -> inferieur ou égal
Sn -> S indice n
(3/4)^n-5 U5 -> (3/4)exposant n-5 U indice5
(Sn)n >= 5 -> (S indice n) indice n supèrieur ou égal à 5 ]]]
Ce n´est pas tres clair mais j´ai pris mon exo en photo, si vous voulez, je peux vous l´envoyer !!
