Petit probleme sur un ex sur les complexe

On designe par A et B les points d´affixes
zA = 2 - i et
Zb = -2i, et,
pour tout nombre complexe z different de Zb, on pose Z = (z - zA) / (z - zB)

1) Determiner, dans chaque cas, l´ensemble des points M(z) tels que :
a) Z soit un réel
b) Z soit un imaginaire pur (éventuellement nul)
c) Z soit de module 1

Je bloque bien que j´ai le cours à coté de moi je comprend pas, si quelqun pouvait m´expliquer clairement, je serais bien content ^^
Merci

ž représente le conjugué de z
on pose z=x+iy
Z=(z-2+i)/(z+2i)
=((z-2+i)(ž-2i))/((z+2i)(ž-2i))
=(zž-2ž+iž-2iz+4i+2)/(z²+4)
=(x²+y²-2x+2iy+ix+y-2ix-2y+4i+2)/(z²+4)
=(x²+y²-2x-y+2+i(2y-a+4))/(z²+4)

Z réel <=> Im(Z)=0 <=> 2y-x+4=0 <=> y=(1/2)x-2
donc l´ensemble M(z) recherché est l´ensemble des points appartenant à droite d´équation y=(1/2)x-2

Z imaginaire pur <=> Re(Z)=0 <=> x²+y²-2x-y+2=0 <=> (x-2)²-4+(y-1/2)²-1/4+2=0 <=> (x-2)²+(y-1/2)²=4+1/4-2=(3/2)² donc l´ensemble M(z) recherché est le cercle de centre d´affixe 2+(1/2)i et de rayon 3/2

|Z|=1 donc |z-zA|/|z-zB|=1 soit |z-zA|=|z-zB| <=> AM=BM donc l´ensemble M(z) recherché est l´ensemble des points appartenant à la médiatrice de [AB]

i(2y-a+4) il faut lire x et non pas a
j´ai fait ça un peu à l´arrache donc il est possible que je me sois trompé. en tout cas le raisonnement est là. refais les calculs au cas où.

Pour les quetion a) et b) je crois que c´est plus simple de les résoudre en utilisant les arguents :

z réel
arg(z) =0 +kpi
arg[(z-zA)/(z-zB)] =0 +kpi
angle orienté (AM;BM) =0 ou pi

donc M est sur la droite (AB) privé de B d´aprés l´énoncé. et calcules pour z=zA

z imaginaire
arg(z)=pi + +k pi
(AM;BM)= pi (ou 3pi)
Mest sur le cercle de diamétre [AB] toujours privé de B et faut vérifier pour A

sinon pour la c) j´aurais fait pareil.