Bonjour,

J´ai un exo à vous proposer (juste pour vous)pour vous parler par la suite d´un petit théorème bien sympathique .... Pourquoi je fais ça ?? Car j´ai fais quelques ´Rallye Mathématique´ pour m´entrainer et j´ai vu que ce genre d´exo revenait pas mal de fois, donc pour ceux qui envisagent de faire un concours mathématique scolaire cette année, ça peut bcp servir :

- Partage d´un quadrilatère -

http://img181.imageshack.us/my.php?image=partage1xv.jpg

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et a,b,c et d les aires respectives des triangles IAD, IDC, IBC et IAB, on a :

a = 210cm²
b = 330cm²
d = 410cm²

Trouver l´aire c.

(Chuut le_duche et Cie ^^)

Une variante :

< http://img513.imageshack.k.us/my.php?image=part24kn.jpg >

Soit ABCD un quadrilatère quelconque et a,b,c et d les aires tels que :

a = 200cm²
b = 150cm²
d = 400cm²

Trouver l´aire de c.

Héhé, là comme ça je ne vois rien du tout ^^
Ton quadrilatère est vraiment quelconque, et I est placé n´importe où dans le quadrilatère ?

N´importe quoi moi, j´avais pas vu I à l´intersection des diagonales

Oui I est l´intersection des diagonales

Bouhh, bah alors ?? Bon aller,je vous donne les réponses :

--- Connaissance requise : Théorème du partage de triangle ---

Tout d´abord, il faut connaître le théorème du partage du triangle :

<< http://img234.imageshack.k.us/my.php?i...tagetri7sj.jpg >>

(1) La médiane issue de A coupe le triangle en deux triangle de même aire.

(2) Plus généralement : Aire(ABM)/Aire (ACM) = MB/MC

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<<< Partages de quadrilatère : Variante I >>>

<< http://img181.imageshack.us/my.php?image=partage1xv.jpg >>

Données : a = 210cm² ; b = 330cm² et d = 410cm²

- Dans le triangle ADB, on a (AI) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d´après la théorème du partage du triangle, on a :

ID/IB = a/d

- Dans le triangle CDB, on a (IC) qui coupe le triangle en deux autres triangles, d´après le même théorème, on a :

ID/IB = b/c

Au final, on a alors a/d = b/c, soit :

<< ac = bd >>

Alors,

<< c = bd / a >>

<<< Partage II >>>

<< http://img513.imageshack.k.us/my.php?image=part24kn.jpg >>

Traçons les diagonales de ce quadrilatère, elles se coupent toutes au point G, nous avons alors cette figure :

<< http://img224.imageshack..us/img224/75/partageee6ii.jpg >>

D´après le théorème du partage de triangle, on a :

1 = 2 (médiane issue de G, donc deux triangles de même aire) ; 4 = 3 ; 5 = 6 ; 8 = 7

Alors : 1 + 8 + 4 +5 = 2 + 3 + 6 +7,

Donc : d + b = c + a, soit << a + c = b + d >>

Alors << c = (b + d) - a >>

Ooops, problème avec le premier lien URL, voici le bon :

<< http://img403.imageshack.us/img403/8519/partagetri6bz.jpg >>