Le but du problème est l´étude de la fonction f définie sur l´intervalle ]0 ; +inf [ pa: f(x)=ln(e^(2x)-1)/exp(x).
Première partie
Etude de fonctions auxiliaires
1°) On définit la fonction g sur l´intervalle ]1 ; +inf [ par :
g(x) = 2x - (x - 1) ln(x - 1).
a)On admet le résultat suivant : lim x->0 (xlnx)=0.
En déduire la limite de g(x) lorsque x tend vers 1.
b)Calculer g´(x) pour x appartenant à l´intervalle ]1 ; +inf [.
c)Résoudre l´inéquation 1 - ln(x - 1) > 0, d´inconnue x appartenant à l´intervalle ]1 ; +inf [.
d)Etudier le sens de variation de g sur l´intervalle ]1 ; +inf [.
e)Montrer que l´équation g(x) = 0 a une solution unique, notée alpha , dans l´intervalle [e + 1 ; e^3 + 1], et étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1 ; alpha [ et ]alpha ; +inf [.
2°) Soit phi la fonction définie sur l´intervalle ]1 ; +inf [ par :
phi(x)=ln(x²-1)/x
a)Déterminer lim x->1(phi(x))et prouver que lim x->+inf(phi(x))=0.
b)Calculer phi´(x) et montrer que phi´(x) est du signe de g(x2) sur l´intervalle ]1 ; +inf [.
c)Montrer que j est croissante sur l´intervalle ]1 ;r acine de alpha ] et décroissante sur l´intervalle [racine de alpha; +inf [.
Deuxième partie
Etude de la fonction f
1°) Vérifier que, pour tout x appartenant à l´intervalle ]0 ; +inf [, on a
f(x) = phi (e^x).
2°) En déduire :
a)la limite de f(x) lorsque x tend vers 0 ;
b)la limite de f(x) lorsque x tend vers +inf ;
c)le sens de variation de f sur l´intervalle ]0 ; +inf [ et que f admet un maximum en ln(racine de alpha).
A)2)c)
Montrer que j est croissante sur l´intervalle ]1 ;r acine de alpha ] et décroissante sur l´intervalle [racine de alpha; +inf [.
je n´arrive pas vraiment à le démontrer, car le fait de passer de x à x² me gène
B.
c)le sens de variation de f sur l´intervalle ]0 ; +inf [ et que f admet un maximum en ln(Va).
j´ai du mal à étudier avec "y(e^x)"..
Merci beaucoup 
