Salut tout le monde,

Je suis en terminale S et on est en train d´etudier la fonction exponentielle.

Je me fabrique une petite fonction pour l´étudier seul et m´entrainer. Or je crois que j´ai fait un truc qui n´est pas au programme de TS...

La fonction : f(x) = e^x - x^3 avec x réel.

On m´a toujours dit que tout polynôme de degré n avait n racines (ou racines doubles, triples etc... ou sans solution). Or cette fonction n´a que 2 racines, que j´ai trouvé grâce à un programme sur ma TI-89 : 1.9 et 4.5 (arrondi).

Pour résoudre des polynomes de degrés n, c´est facile car il suffit de trouver la factorisation. Par contre la comment faire...

Comme faire trouver les racines de f et le signe de f ?

Allez des boss en math et des bac +3 ou bac+4 ici il doit bien en avoir ^^
j´aimerai savoir comment faire

Ta fonction f n´est pas un polynôme, puisqu´elle ne fait pas intervenir que des puissances de x...
Il faut réviser ta définition d´un polynôme ^^

Euh oui +1, t´as raison, jdis vraiment n´importe quoi

Hum sinon j´ai pas trop la réponse à ma question proprement dites

pour les variation ca doit marcher avec les dérivés,

pour les solutions (je tente^^):

e^x - x^3 = 0
<=>e^x = x^3
<=>e^(x/2) = x^2
<=>e^(x/3) = x
<=> x = 3lnx
et la peut etre que tu peux faire une réso graphique et des valeurs approchées ou bien étudier la fonction 3lnx-x... en fait jmenbrouille un peu^^

Tu pouvais simplement dire:
e^x=x^3
=> x=3ln(x) en composant direct par le ln ^^

A condition qu´il ait déjà vu ln avec l´exponentielle, ce qui est loin d´être mon cas.
C´est un peu bête, on voit les exponentielles et les logarithmes en physique-chimie avant de les voir en mathématiques, c´est un peu bête, on n´y comprend pas grand chose.

Idem Viouthay, par contre on voit les exponentielle en même temps maths et physique/chimie chez moi

Par contre ln pas vu mais je vois ce que c´est. Mais je ne connais pas ces propriétés...

D´ailleurs comment tu peut résoudre x=3ln(x) ?

Soit g(x) cette fonction.

Quand est-ce que g(x)=x ? :/

Ca m´étonnerait que tu aies quelque chose comme ça ^^
Avant de regarder le chapitre sur ln, je savais juste que ln(e^x)=x.
En fait, ln fonctionne un peu comme l´argument d´un nombre complexe, pour les opérations classiques.

Pour les représentations graphiques :
ln(x) et e^x sont symétriques, dans un repère orthogonal,, par rapport à la première bissectrice des axes.
Tu peux en déduire que x=3ln(x) admet 2 solutions (graphiquement). Enfin je dis 2 au pif pour confirmer ta première hypothèse, et sous réserve que _Furious-Angel_ ne se soit pas planté !

Bibi907 Posté le 24 novembre 2005 à 20:33:50

Tu pouvais simplement dire:
e^x=x^3
=> x=3ln(x) en composant direct par le ln ^^

Je n´avais pas vu ça. Effectivement, en passant en ln, e se simplifie avec ln d´un côté, de l´autre ln(x^3)=3ln(x). Donc si ta calculatrice ne s´est pas plantée, ça fait quelque chose comme ça.

En fait, tu recherches les éventuels points fixes de f(x)=3ln(x).

tu as fait la différence de deux fonctions strictment croissantes. Tu ne peux donc pas avoir plus de deux solutions...

Ce que tu peux faire c´est créer une suite reccurente qui vas converger vers la solution de ton equation. Je crois pas qu´on puisse faire autrement.

Tu pose f(x) = exp(x) - x^3.

La solution de ton equation est donc le point d´intersection de la courbe de f avec l´axe des abscisses.

Tu definis la suite (Un) par :
U(0) = nimporte koi
U(n+1) = Un - [f(Un)/f´(Un)]

avec f´(x) = exp(x) - 3x^2 ici.

Et donc a chaque fois ke tu calcul un nouveau terme de la suite tu t´approche de la solution de ton equation.

T´as un schema ici qui explique comment ca fonctionne : http://tdmath.univ-rennes1.fr/donnees/ParamHTML/Les%20suites/con/M%e9thode%20de%20Newton/cst.html

"tu as fait la différence de deux fonctions strictment croissantes. Tu ne peux donc pas avoir plus de deux solutions..."
Ca doit être vrai pour des fonctions convexes, mais pas pour des fonctions strictement croissantes...

sebcopin : En prenant une fonction au hasard, tu as peu de chance que les zéros de cette fonction puissent s´exprimer simplement en termes de nombres et de fonctions "usuels". Mais tu peux toujours en trouver une valeur approchée grâce ,par exemple, à la méthode de Newton expliquée ci-dessus.