un problème en maths (ui je sais ca devient habituel ^^):

théorème: toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre

démo: soit (xi)i dans I une famille orthogonale de vecteurs non nuls, soit (x1,...,xn) une sous famille finie
soit (L1,...,Ln) dans K^n tel que la somme de i=1 à n des Li xi soit nulle

soit j dans [I1,nI] 0=(xj I somme des Li xi de i=1 à n)=somme de i=1 à n des Li(xj I xi)
jusque là pas de problème

mais ensuite: =Lj(xj I xj) et xj non nul donc la famille est libre

comment on fait pour passer à la drnière égalité ?

dans le même esprit:

x=somme de i=1 à n de xi ei et y=somme de i=1 à n de yi ei avec (e1,...,en) une bon de E

soit i dans [I1,nI]

(ei I x)=somme de j=1 à n de xj(ei I ej)=xi
comment on passe de la 2ème à la 3ème ?

merci d´avance à ceux (ou celles) qui répondront

si c´est mes notations qui vous gênent faut le dire, je vous les explique

ca m´embeterais quand même un peu de me ramener en colle lundi sans savoir ca alors

Tu as une somme de carrés qui est nulle, que peux-tu en déduire sur les coefficients ?

Le fait que la famille soit libre est immédiat après.

le fait que c´est libre je suis d´accord puisque Lj est nul avec j dans [I1,nI] mais c´est l´aspect calculatoire qui me pose problème, pas le reste.
Je comprends pas comment de "soit j dans [I1,nI] 0=(xj I somme des Li xi de i=1 à n)=somme de i=1 à n des Li(xj I xi)" on passe à "=Lj(xj I xj)"

(xj I somme des Li xi de i=1 à n) signifie:
xj scalaire somme des Li xi de i=1 à n pour qu´il y ait pas d´ambiguïté

alors personne pour l´aspect calculatoire ?

Bah par définition d´une famille orthogonale, tout les termes <xi|xj> sont nuls pour i<>j. Ta double somme se simplifie considérablement, et tu tombes sur la dernière égalité.

Retiens bien ceci : si ei et ej sont deux vecteurs d´une même base orthonormale, <ei|ej>=delta(i,j)=(1 si i=j,0 sinon).

Tu saisis ?

donc tu développes la somme et tu simplifies du fait que la famille est orthogonale
ok c´est noté et ca m´éclaire quand même pas mal ^^

merci