On m´a effacé mon ancien topic sans raison valable(et franchement je ne sais pas du tout pourquoi!) donc je le recré !
En fait j´ai pas tres bien compris a quelle question tu avais repondu le_duche !! Tu pourrais m´eclairer stp ?
Voici ce qui avait été dit dans mon topic :
le__directeur90 Posté le 09 novembre 2005 à 15:05:16
Salut tt le monde j´ai un ptit prblm en math spe que je n´arrive pas à resoudre :
n est un entier, n superieur strictement à 1 ; on pose a= (n²+1)/(n(n²-1)
1) Prouvez que l´ensemble des diviseurs communs du numérateurs et du dénominateurs de a est l´ensemble des diviseurs communs de n²-1 et 2
2) Deduisez-en que si n est pair, alors la fraction est irreductible, et que si n est impair, alors le PGCD du numerateur et du denominateur est égal à 2.
le__directeur90 Posté le 09 novembre 2005 à 15:33:09
Personne ne peut m´aider ? svp!!
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 16:16:43
je regarde ca tout de suite, att quelque minutes, ca n´a pas l´air si simple
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 16:35:43
ouch c´est chaud
mais j´ai une ptite idée derière la tete, je cogite, je cogite...
Piledriver Posté le 09 novembre 2005 à 16:53:17
T´as raison c´est chaud. Même moi qui suis en SPE de maths aussi je peux pas t´aider directement
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 16:53:29
Bon je vais le faire petit peu par petit peu, comme ca je perd pas le fil de mes idée, et si qqun en a une meilleure que moi il peu embrayer...
Je vais prendre la notation suivante:
on écrite a|b pour "a divise b"
Il faut démontrer le double implication suivante:
si q est un naturel non nul, alors
q|n²+1 et q|n(n²-1) <=> q|n²-1 et q|2
Voici la démonstration dans les sens <=
Supposons donc que q|2 et q|n²-1
Alors on a deux cas possibles: soit q=1 soit q=2.
1) si q=1
alors il est évident que q|n²+1 et q|n(n²-1)
2) si q=2
alors n²-1 est pair => n est impair. On peut donc écrire n=2m+1 ou m est un naturel non nul.
Ainsi n²+1 = (2m+1)²+1 = 4m²+4m+2 est pair, donc q|n²+1
Et n(n²+1) = 2m((2m+1)²-1) est pair, donc q|n(n²-1)
Je boulotte pour la démo de =>
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:00:47
j´ai une idée peut etre exploitable:
supposons donc que q|n²+1 et q|n(n²-1)
alors q|b(n²+1)+a*n(n²-1)
ce qui est équivalent à
q|an³+bn²-an+b
si on arrive à prouver que tout nombre pair peut s´exprimer sous la forme an³+bn²-an+b alors q|2
ce qui impliquerait que q=1 ou q=2 et il est alors facile de montrer que q|n²-1
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:27:10
y a personne qui a une idée pour me sortir de là
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:29:46
bon en fait c´est faux, tout naturel pair ne peut pas nécessairement s´écrire sous cette forme.
(ce n´est pas pour ca que q ne divise pas 2...)
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:40:06
haaaaaaaaaaaaaaaaa je mérite d´etre banni à vie !
C´était méga facile et j´ai vu beaucoup trop compliqué.
Honte à moi...
Quel malheur, ca doit etre une tarre héréditaire pou etre si grave
et si je donnais la réponse...
On souhaite donc prouver que si q|n²+1 et q|n(n²-1) alors q|n²-1 et q|2.
Si q=1 alors c´est évident...
Si q>1 alors comme q|n²+1 est premier avec n² et donc q est premier avec n.
Puisque q est premier avec n et que q|n(n²-1) alors q|n²-1
Comme q|n²+1 et q|n²-1, on a que q|(n²+1)-(n²-1)
cad que q|2
et c´est fini
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:41:30
re-honte à moi, j´ai fait une petite erreur:
c´est:
On souhaite donc prouver que si q|n²+1 et q|n(n²-1) alors q|n²-1 et q|2.
Si q=1 alors c´est évident...
Si q>1 alors comme q|n²+1, q est premier avec n² et donc q est premier avec n.
Puisque q est premier avec n et que q|n(n²-1) alors q|n²-1
Comme q|n²+1 et q|n²-1, on a que q|(n²+1)-(n²-1)
cad que q|2
le_duche Posté le 09 novembre 2005 à 17:42:02
comme quoi le grand duche n´abandonne jamais un problème au combat
