Bonjour,
j´ai quelques petits exos basiques pas très évidentes pour moi :/

1. Déterminer le reste de la division euclidienne par 7 du nombre a = 247^349

(je sais faire une division euclidienne mais je sais pas ce qu´il faut faire face à un nombre avec un exposant aussi grand)

2. Résoudre dans Z : 3x^2 + xy - 11 = 0

(j´ai fais avec le déterminant, mais je ne sais pas si c´est la bonne méthode )

3. Montrer que pour tout n dans N* :
( n² + n ) ^ (2n + 1) = 1
(càd pgcd(n²+n;2n+1) =1 )

(là j´ai fais pas récurrence :
-je commence avec n=1, c´est bon
-je suppose n vrai
-avec n+1, je bloque (j´ai essayé de développé, etc. mais je n´ai rien de cohérent)

voilà :x

ptit

Pour la question 1, tu peux écrire :

247=35*7+2 donc 247^349=(35*7+2)^349

ensuite, en utilisant la formule du binome de Newton tu trouves :

247^349=2^349 + 7q ou q est un entier.

Tu conclus que le reste de la division euclidienne par 7 de 247^349 est le meme que le reste de 2^349. En remarquant que :

349=3*116+1

tu obtient :

2^349=2^(3*116) * 2 = 8^(116) * 2

Or, 8^(116)=(7+1)^116

et en utilisant la formule du binome :

8^(116)=1+7k ou k est un entier.

Donc on obtient :

2^349=2+7l ou l est un entier.

Le reste recherché est donc 2 (par unicité de la division euclidienne).

Tu as compris ?