En voyant le nombre de posts sur des problèmes mathématiques pouvant être résolus avec de la bonne foi sans trop réfléchir, je me dis, soit que les auteurs de ces posts sont vraiment idiot, soit qu´ils sont feigniants intellectuellement et qu´ils nous prennent pour leur pigeon pour résoudre leur exercice .... Je précise qu´AVANT de commencer un exercice, il faudrait d´ABORD apprendre la leçon du cours .... 90% de vos problèmes trouvent leur réponse dans vos cours ...
Parcontre après il y´a une autre catégorie de personne, ceux qui aiment les mathématiques, voir pas du tout, mais qui font l´effort de résoudre par eux-même leurs exos, mais qui épprouvent quand même quelques difficultés, alors, c´est à eux que je dédis mon topic :
Mon but ici est de rassembler des méthodes, des raisonnements pour mener à bout vos exercices, je commencerai donc par la Logique
I - La Logique : son vocabulaire :
A) L´implication :
1). Exemple :
Examinons l´énoncé suivant :
"Si ABC est un triangle isocèle tel que AB=AC, alors les angles ^B et ^C sont égaux."
Il affirme ceci : si la phrase (P) : "ABC est un triangle isocèle tel que AB=AC" est vraie, alors la phrase (Q) : "les angles ^B et ^C sont égaux" est vraie elle aussi.
On dit que (P) implique (Q) et que l´énoncé éxaminé est une implication.
2) Cas général - Notations :
Plus généralement, nous dirons que la proposition (P) implique la proposition (Q) pour signifier que lorsque (P) est vraie, alors (Q) l´est aussi, ou encore que (Q) est une conséquence de (P).
Usuellement, l´implication se traduit par :
SI (P) ALORS (Q) ; (P) donc (Q)
Exemple : SI x=2 (P), ALORS x² = 4(Q) ; x=2 DONC x²=4
Notation : (P) implique (Q) peut se noter (P)-> (double barre) (Q)
3) Des implications cachées :
Parfois l´implication est implicite dans un énoncé. Ainsi, on énonce parfois : "Deux angles opposés par le sommet sont égaux" au lieu de "SI deux angles sont opposés par le sommet ALORS ils sont égaux".
4) Implication réciproque :
Supposons qu´une proposition (P) implique une propisition (Q). Nous pouvons toujours nous poser le problème de savoir si la réciproque est vraie, c´est à dire de savoir si (Q) implique (P).
Exemples :
Le proposition (P) : x=2 implique (Q) = x²=4.
La réciproque s´énonce ainsi : Si x²=4, alors x=2 = -2.
Il est facile de voir que cette réciproque est fausse, càd que (Q) n´implique pas (P) car (-2)² = 4 et -2 est différent de 2.
B) L´équivalence
1) Vocabulaire :
On dit que 2 propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsque (P) implique (Q) ET que (Q) implique (P).
Usuellement, l´équivalence se formule par :
(P) équivaut à (Q), si et seulement si, (P) -> (Q) et (Q) -> (P).
Notation : (P)<-> (double barre)(Q)
Exemple : x et a sont deux nombres, a est positif.
La phrase "x²=a équivaut à x=V(a) ou x=-V(a)", doit se comprendre ainsi :
- Si l´on sait que x²=a, alors on peut en déduire que x=V(a) ou que x=-V(a).
- Et, si l´on sait que x=V(a) ou x=-V(a), alors on peut en déduire que x²=a.
2) Comment démontrer l´équivalence entre (P) et (Q) ?
Démontrons, par exemple, que pour deux nombres a et b :
a² = b² (P) équivaut à a=b ou a =-b (Q)
A) Première méthode :
On démontre d´abord que (P)implique (Q), puis que (Q) implique (P).
- Démontrons que (P) -> (Q) :
On suppose que a²=b² et on veut démontrer que cette hypothèse implique a=b ou a=-b.
De a²=b², on en déduit que a²-b²=0, donc que (a-b)(a+b)=0. Or si un produit est nul, l´un des nombres au moins l´est, donc a-b = 0 ou a + b =0, et donc a=b ou a=-b.
- Démontrons que (Q) implique (P) :
On suppose que a=b ou a=-b et on veut démontrer que a²=b². Or si a=b, alors a²=b². Et si a=-b, a²=(-b)² = b²
Conclusion : (P) implique (Q) et (Q) implique (P), donc (P)<->(Q)
B) Deuxième méthode par équivalences succesives :
a²=b² équivaut à a²-b²=0, donc (a+b)(a-b)=0. Or un produit de facteur est nul lorsque l´un de ses facteurs l´est et seulement dans ce cas. Donc (a+b)(a-b)=0 équivaut à a-b=0 ou a+b=0, donc a=b ou a=-b
C) Quelle méthode utiliser ?
- On utilise plutôt la méthode par équivalences successives lorsque les équivalences intermédiaires sont établies (énoncées sous forme de théorèmes ou de règles) ce qui fait qu´il n´y a pas besoin de les démontrer. C´est le cas de l´exemple traité p^lus haut.
- Sinon, il est préférables, en cas de doute, d´utiliser la 1ère, c´est-à dire distinguer deux étapes dans le raisonnement.
C) Le contre-exemple :
Pour prouver qu´une proposition n´est pas "toujours" vraie, il suffit d´exhiber un cas pour lequel elle n´est pas vraie. Un tel cas particulier est appelé contre-exemple de la proposition.
Exemple : Est-il vrai que pour tou réel x>=0, x² >=x ?
La réponse est non. En effet, si x = 1/2, alors x² = 1/4, donc x²<x.
Ainsi la propisition "x²>=x" n´est pas vraie pour tout nombre x positif.
Voilà pour la Logique (de base), je viendrai complèter ce bloc méthodologique avec ´Comment dméontrer que..´ un peu plus tard.
