Un nombre de 2 chiffres, écrit uniquement avec des ´1´ et ´2´ et divisible par 2², évidemment que ça existe : c´est 12. Un nombre de 3 chiffres, écrit de la même manière et divisible par 2^3, ça existe aussi, vous le connaissez, c´est ....

Trouvez un nombre de 4 chiffres divisible par 2^4, et écrit de la même manière.

Existe-t-il pour tout nombre n un nombre de n chiffres écrit uniquement avec des ´1´ et ´2´ et divisible par 2^n ?

Oui.

oui

Prouvez-moi-le

Alors ?

Pas mal le problème, je vais m´y pencher demain soir.

Mouais. Trop mal à la tête pour réfléchir à un truc pareil...

On peut prouver par récurrence que pour tout n il existe un entier u_{n} divisible par 2^{n}, à n chiffres, et dont chacun des n chiffre est 1 ou 2.
Pour n=2, c´est 12.
Supposons u_{n} construit alors u_{n}=2^{n}q ou q est un entier. Deux cas se présentent :

1) Si q est pair on a q=2k ou k est un entier
on pose u_{n+1}= 2*10^{n} + u_{n}
(c´est bien un nombre à n+1 chiffres composé que de 2 et de 1 car u_{n} a n chiffres et n´est écrit qu´avec des 2 et des 1)
et u_{n+1}=2^{n+1}*5^{n}+2^{n+1}k
=2^{n+1}*(5^{n}+k)
donc u_{n+1} est divisible par 2^{n+1}.

2) Si q est impair on pose
u_{n+1}=u_{n}+10^{n}
De même, c´est un nombre à n+1 chiffres etc...
et on a

u_{n+1}=2^{n}q+2^{n}*5^{n}=2^{n}*(q+5^{n})

Comme q est impair, q+5^{n} est pair et donc u_{n+1} est divisible par 2^{n+1}.